Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 1)$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Étape 1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Étape 1.1.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Étape 1.1.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Étape 1.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Étape 1.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Étape 1.1.5.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Étape 1.1.6

Associez les fractions.

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Étape 1.1.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Étape 1.1.6.2

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1)$

Étape 1.1.6.3

Placez ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1)$

Étape 1.1.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Étape 1.1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 1))$

Étape 1.1.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + 0)$

Étape 1.1.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.10.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

Étape 1.1.10.2

Multipliez $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 = 0$

Étape 2.3

Comme $2 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 4.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 4.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{1}}}$

Étape 4.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x - 1}}$

Étape 4.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x - 1}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 \sqrt[3]{x - 1} = 0$

Étape 4.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${(3 \sqrt[3]{x - 1})}^{3} = 0^{3}$

Étape 4.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x - 1}$ comme ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.2.1

Simplifiez ${(3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 4.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 4.3.2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 4.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 4.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 4.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$27 {(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 4.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$27 {(x - 1)}^{1} = 0^{3}$

Étape 4.3.2.2.1.4

Simplifiez

$27 (x - 1) = 0^{3}$

Étape 4.3.2.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$27 x + 27 \cdot - 1 = 0^{3}$

Étape 4.3.2.2.1.6

Multipliez $27$ par $- 1$ .

$27 x - 27 = 0^{3}$

Étape 4.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$27 x - 27 = 0$

Étape 4.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.3.1

Ajoutez $27$ aux deux côtés de l’équation.

$27 x = 27$

Étape 4.3.3.2

Divisez chaque terme dans $27 x = 27$ par $27$ et simplifiez.

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Étape 4.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $27 x = 27$ par $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{27}{27}$

Étape 4.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $27$ .

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Étape 4.3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{27 x}{27} = \frac{27}{27}$

Étape 4.3.3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{27}{27}$

Étape 4.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.3.2.3.1

Divisez $27$ par $27$ .

$x = 1$

Étape 5

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ augmente et diminue est $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 1)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = \frac{2}{3 {((0) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1.1

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f' (0) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 6.2.1.2

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (0) = \frac{2}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 6.2.1.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (0) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

Étape 6.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f' (0) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

Étape 6.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f' (0) = \frac{2}{3 (- 1)}$

Étape 6.2.1.5

Évaluez l’exposant.

$f' (0) = \frac{2}{3 \cdot - 1}$

Étape 6.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.2.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f' (0) = \frac{2}{- 3}$

Étape 6.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (0) = - \frac{2}{3}$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3}$

Étape 6.3

Sur $x = 0$ la dérivée est $- \frac{2}{3}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, 1)$ .

Diminue sur $(- \infty, 1)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = \frac{2}{3 {((2) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.1.1

Soustrayez $1$ de $2$ .

$f' (2) = \frac{2}{3 \cdot 1^{\frac{1}{3}}}$

Étape 7.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (2) = \frac{2}{3 \cdot 1}$

Étape 7.2.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (2) = \frac{2}{3}$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Étape 7.3

Sur $x = 2$ la dérivée est $\frac{2}{3}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(1, \infty)$ .

Augmente sur $(1, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(1, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, 1)$

Étape 9