Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 4}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{2} - 4}$ comme ${(x^{2} - 4)}^{- 1}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 4)}^{- 1})$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2} - 4$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))$

Étape 1.1.3.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x + 0)$

Étape 1.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x)$

Étape 1.1.3.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = - 2 {(x^{2} - 4)}^{- 2} x$

Étape 1.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 2 \frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

Étape 1.1.5

Associez des termes.

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Étape 1.1.5.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

Étape 1.1.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{2}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

Étape 1.1.5.3

Associez $x$ et $\frac{2}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.5.4

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 x = 0$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0$ .

$0$

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x^{2} - 4)}^{2} = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.2.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

${(x^{2} - 2^{2})}^{2} = 0$

Étape 4.2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

${((x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

Étape 4.2.1.3

Appliquez la règle de produit à $(x + 2) (x - 2)$ .

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 4.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 4.2.3

Définissez ${(x + 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.3.1

Définissez ${(x + 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Étape 4.2.3.2

Résolvez ${(x + 2)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.3.2.1

Définissez le $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 4.2.3.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 4.2.4

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.4.1

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 4.2.4.2

Résolvez ${(x - 2)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.4.2.1

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 4.2.4.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 4.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ vraie.

$x = - 2, 2$

Étape 4.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f' (- 3) = - \frac{2 (- 3)}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{{(9 - 4)}^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $4$ de $9$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{5^{2}}$

Étape 6.2.2.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{25}$

Étape 6.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 3) = \frac{6}{25}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $\frac{6}{25}$ .

$\frac{6}{25}$

Étape 6.3

Sur $x = - 3$ la dérivée est $\frac{6}{25}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - 2)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 2)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 2, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = - \frac{2 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{{({(- 1)}^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{{(1 - 4)}^{2}}$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{{(- 3)}^{2}}$

Étape 7.2.2.3

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{9}$

Étape 7.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 1) = \frac{2}{9}$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $\frac{2}{9}$ .

$\frac{2}{9}$

Étape 7.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $\frac{2}{9}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 2, 0)$ .

Augmente sur $(- 2, 0)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 2)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = - \frac{2 (1)}{{({(1)}^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (1) = - \frac{2}{{(1^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = - \frac{2}{{(1 - 4)}^{2}}$

Étape 8.2.2.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f' (1) = - \frac{2}{{(- 3)}^{2}}$

Étape 8.2.2.3

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f' (1) = - \frac{2}{9}$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $- \frac{2}{9}$ .

$- \frac{2}{9}$

Étape 8.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $- \frac{2}{9}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, 2)$ .

Diminue sur $(0, 2)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f' (3) = - \frac{2 (3)}{{({(3)}^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$f' (3) = - \frac{6}{{(3^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.2.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f' (3) = - \frac{6}{{(9 - 4)}^{2}}$

Étape 9.2.2.2

Soustrayez $4$ de $9$ .

$f' (3) = - \frac{6}{5^{2}}$

Étape 9.2.2.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f' (3) = - \frac{6}{25}$

Étape 9.2.3

La réponse finale est $- \frac{6}{25}$ .

$- \frac{6}{25}$

Étape 9.3

Sur $x = 3$ la dérivée est $- \frac{6}{25}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(2, \infty)$ .

Diminue sur $(2, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 10

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - 2), (- 2, 0)$

Diminue sur : $(0, 2), (2, \infty)$

Étape 11