Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{3} x^{3} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.2.3

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.2.4

Associez $\frac{3}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.2.5.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} - 1 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 1$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{2} - 1$ .

$x^{2} - 1$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{2} - 1 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 1$

Étape 2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 2.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $1, - 1$ .

$1, - 1$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 1)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = {(- 2)}^{2} - 1$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2) = 4 - 1$

Étape 5.2.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$f' (- 2) = 3$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $3$ .

$3$

Étape 5.3

Sur $x = - 2$ la dérivée est $3$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - 1)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 1)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 1, 1)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = {(0)}^{2} - 1$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = 0 - 1$

Étape 6.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f' (0) = - 1$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Étape 6.3

Sur $x = 0$ la dérivée est $- 1$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 1, 1)$ .

Diminue sur $(- 1, 1)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = {(2)}^{2} - 1$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (2) = 4 - 1$

Étape 7.2.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$f' (2) = 3$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $3$ .

$3$

Étape 7.3

Sur $x = 2$ la dérivée est $3$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(1, \infty)$ .

Augmente sur $(1, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - 1), (1, \infty)$

Diminue sur : $(- 1, 1)$

Étape 9