Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{- 4}{x^{2} - 2 x - 3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2} - 2 x - 3}]$

Étape 1.1.1.2

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{4}{x^{2} - 2 x - 3}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}]$

Étape 1.1.1.3

Réécrivez $\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}$ comme ${(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 1}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 1}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2} - 2 x - 3$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 2 x - 3$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 2 x - 3$ .

$- 4 (- {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$4 ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Étape 1.1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 1.1.3.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 1.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 1.1.3.6

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 1.1.3.7

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 + 0)$

Étape 1.1.3.8

Additionnez $2 x - 2$ et $0$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2)$

Étape 1.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

Étape 1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.1.5.1

Associez $4$ et $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

Étape 1.1.5.2

Réorganisez les facteurs de $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$ .

$f' (x) = (2 x - 2) \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})$ .

$(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}) = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x - 2 = 0$

$\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$

Étape 2.3

Définissez $2 x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $2 x - 2$ égal à $0$ .

$2 x - 2 = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $2 x - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 2$

Étape 2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 2$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 2$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Étape 2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Étape 2.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2}{2}$

Étape 2.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.2.3.1

Divisez $2$ par $2$ .

$x = 1$

Étape 2.4

Définissez $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ égal à $0$ .

$\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 = 0$

Étape 2.4.2.2

Comme $4 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}) = 0$ vraie.

$x = 1$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $1$ .

$1$

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.2.1.1

Factorisez $x^{2} - 2 x - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.2.1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 3, 1$

Étape 4.2.1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

${((x - 3) (x + 1))}^{2} = 0$

Étape 4.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $(x - 3) (x + 1)$ .

${(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$

Étape 4.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

Étape 4.2.3

Définissez ${(x - 3)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.3.1

Définissez ${(x - 3)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Étape 4.2.3.2

Résolvez ${(x - 3)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.3.2.1

Définissez le $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 4.2.3.2.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 4.2.4

Définissez ${(x + 1)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.4.1

Définissez ${(x + 1)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Étape 4.2.4.2

Résolvez ${(x + 1)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.4.2.1

Définissez le $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 4.2.4.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 4.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 3, - 1$

Étape 4.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 1, x = 3$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 1)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{{({(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2 - 3)}^{2}})$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{{(4 - 2 \cdot - 2 - 3)}^{2}})$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{{(4 + 4 - 3)}^{2}})$

Étape 6.2.1.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{{(8 - 3)}^{2}})$

Étape 6.2.1.4

Soustrayez $3$ de $8$ .

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{5^{2}})$

Étape 6.2.1.5

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{25})$

Étape 6.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.2.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f' (- 2) = (- 4 - 2) (\frac{4}{25})$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $2$ de $- 4$ .

$f' (- 2) = - 6 (\frac{4}{25})$

Étape 6.2.3

Multipliez $- 6 (\frac{4}{25})$ .

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Étape 6.2.3.1

Associez $- 6$ et $\frac{4}{25}$ .

$f' (- 2) = \frac{- 6 \cdot 4}{25}$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$f' (- 2) = \frac{- 24}{25}$

Étape 6.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 2) = - \frac{24}{25}$

Étape 6.2.5

La réponse finale est $- \frac{24}{25}$ .

$- \frac{24}{25}$

Étape 6.3

Sur $x = - 2$ la dérivée est $- \frac{24}{25}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, - 1)$ .

Diminue sur $(- \infty, - 1)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 1, 1)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{({(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 3)}^{2}})$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{(0 - 2 \cdot 0 - 3)}^{2}})$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{(0 + 0 - 3)}^{2}})$

Étape 7.2.1.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{(0 - 3)}^{2}})$

Étape 7.2.1.4

Soustrayez $3$ de $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{(- 3)}^{2}})$

Étape 7.2.1.5

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{9})$

Étape 7.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.2.2.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$f' (0) = (0 - 2) (\frac{4}{9})$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $2$ de $0$ .

$f' (0) = - 2 (\frac{4}{9})$

Étape 7.2.3

Multipliez $- 2 (\frac{4}{9})$ .

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Étape 7.2.3.1

Associez $- 2$ et $\frac{4}{9}$ .

$f' (0) = \frac{- 2 \cdot 4}{9}$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$f' (0) = \frac{- 8}{9}$

Étape 7.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (0) = - \frac{8}{9}$

Étape 7.2.5

La réponse finale est $- \frac{8}{9}$ .

$- \frac{8}{9}$

Étape 7.3

Sur $x = 0$ la dérivée est $- \frac{8}{9}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 1, 1)$ .

Diminue sur $(- 1, 1)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(1, 3)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{({(2)}^{2} - 2 \cdot 2 - 3)}^{2}})$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{(4 - 2 \cdot 2 - 3)}^{2}})$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{(4 - 4 - 3)}^{2}})$

Étape 8.2.1.3

Soustrayez $4$ de $4$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{(0 - 3)}^{2}})$

Étape 8.2.1.4

Soustrayez $3$ de $0$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{(- 3)}^{2}})$

Étape 8.2.1.5

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{9})$

Étape 8.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.2.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (2) = (4 - 2) (\frac{4}{9})$

Étape 8.2.2.2

Soustrayez $2$ de $4$ .

$f' (2) = 2 (\frac{4}{9})$

Étape 8.2.3

Multipliez $2 (\frac{4}{9})$ .

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Étape 8.2.3.1

Associez $2$ et $\frac{4}{9}$ .

$f' (2) = \frac{2 \cdot 4}{9}$

Étape 8.2.3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$f' (2) = \frac{8}{9}$

Étape 8.2.4

La réponse finale est $\frac{8}{9}$ .

$\frac{8}{9}$

Étape 8.3

Sur $x = 2$ la dérivée est $\frac{8}{9}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(1, 3)$ .

Augmente sur $(1, 3)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(3, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{{({(4)}^{2} - 2 \cdot 4 - 3)}^{2}})$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{{(16 - 2 \cdot 4 - 3)}^{2}})$

Étape 9.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{{(16 - 8 - 3)}^{2}})$

Étape 9.2.1.3

Soustrayez $8$ de $16$ .

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{{(8 - 3)}^{2}})$

Étape 9.2.1.4

Soustrayez $3$ de $8$ .

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{5^{2}})$

Étape 9.2.1.5

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{25})$

Étape 9.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.2.2.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$f' (4) = (8 - 2) (\frac{4}{25})$

Étape 9.2.2.2

Soustrayez $2$ de $8$ .

$f' (4) = 6 (\frac{4}{25})$

Étape 9.2.3

Multipliez $6 (\frac{4}{25})$ .

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Étape 9.2.3.1

Associez $6$ et $\frac{4}{25}$ .

$f' (4) = \frac{6 \cdot 4}{25}$

Étape 9.2.3.2

Multipliez $6$ par $4$ .

$f' (4) = \frac{24}{25}$

Étape 9.2.4

La réponse finale est $\frac{24}{25}$ .

$\frac{24}{25}$

Étape 9.3

Sur $x = 4$ la dérivée est $\frac{24}{25}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(3, \infty)$ .

Augmente sur $(3, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 10

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(1, 3), (3, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, - 1), (- 1, 1)$

Étape 11