Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3^{- x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = 3^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (3^{u}) \frac{d}{d x} (- x)$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $3$ .

$f' (x) = 3^{u} \ln (3) \frac{d}{d x} (- x)$

Étape 1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$f' (x) = 3^{- x} \ln (3) \frac{d}{d x} (- x)$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3^{- x} \ln (3) (- \frac{d}{d x} x)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 3^{- x} \ln (3) (- 1 \cdot 1)$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = 3^{- x} \ln (3) \cdot - 1$

Étape 1.1.2.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $3^{- x} \ln (3)$ .

$f' (x) = - 1 \cdot (3^{- x} \ln (3))$

Étape 1.1.2.3.3

Réécrivez $- 1 \cdot 3^{- x}$ comme $- 3^{- x}$ .

$f' (x) = - 3^{- x} \ln (3)$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 3^{- x} \ln (3)$ .

$- 3^{- x} \ln (3)$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 3^{- x} \ln (3) = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 3^{- x} \ln (3) = 0$

Étape 2.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

Aucune solution

Étape 3

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé

Étape 4

Aucun point ne rend la dérivée $f' (x) = - 3^{- x} \ln (3)$ égale à $0$ ni indéfinie. L’intervalle pour vérifier si $f (x) = 3^{- x}$ est croissant ou décroissant est $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre, tel que $1$ , de l’intervalle $(- \infty, \infty)$ dans la dérivée $f' (x) = - 3^{- x} \ln (3)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif. Si le résultat est négatif, le graphe est décroissant sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ . Si le résultat est positif, le graphe est croissant sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = - 3^{- (1)} \ln (3)$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (1) = - 3^{- 1} \ln (3)$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{3} \cdot \ln (3)$

Étape 5.2.3

Multipliez $- \frac{1}{3} \ln (3)$ .

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Étape 5.2.3.1

Remettez dans l’ordre $\ln (3)$ et $\frac{1}{3}$ .

$f' (1) = - (\frac{1}{3} \cdot \ln (3))$

Étape 5.2.3.2

Simplifiez $\frac{1}{3} \ln (3)$ en déplaçant $\frac{1}{3}$ dans le logarithme.

$f' (1) = - \ln (3^{\frac{1}{3}})$

Étape 5.2.4

La réponse finale est $- \ln (3^{\frac{1}{3}})$ .

$- \ln (3^{\frac{1}{3}})$

Étape 6

Le résultat du remplacement de $1$ dans $f' (x) = - 3^{- x} \ln (3)$ est $- \ln (3^{\frac{1}{3}})$ , qui est négatif, si bien que le graphe est décroissant sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ .

Diminue sur $(- \infty, \infty)$

Étape 7

Diminue sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ signifie que la fonction est toujours décroissante.

Toujours décroissant

Étape 8