Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2 x}{x^{2} - 36}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x}{x^{2} - 36}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 36}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 36}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{2} - 36$ .

$2 \frac{(x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \frac{(x^{2} - 36) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Multipliez $x^{2} - 36$ par $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 36$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5

Comme $- 36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 36$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (2 x)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Étape 1.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Étape 1.1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Étape 1.1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Étape 1.1.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Étape 1.1.8

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$2 \frac{- x^{2} - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Étape 1.1.9

Associez $2$ et $\frac{- x^{2} - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} - 36)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Étape 1.1.10

Simplifiez

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Étape 1.1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Étape 1.1.10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.10.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Étape 1.1.10.2.2

Multipliez $2$ par $- 36$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$- 2 x^{2} - 72 = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Ajoutez $72$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 x^{2} = 72$

Étape 2.3.2

Divisez chaque terme dans $- 2 x^{2} = 72$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x^{2} = 72$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{72}{- 2}$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 2.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{72}{- 2}$

Étape 2.3.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{72}{- 2}$

Étape 2.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.3.1

Divisez $72$ par $- 2$ .

$x^{2} = - 36$

Étape 2.3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 36}$

Étape 2.3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- 36}$ .

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Étape 2.3.4.1

Réécrivez $- 36$ comme $- 1 (36)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (36)}$

Étape 2.3.4.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (36)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$

Étape 2.3.4.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{36}$

Étape 2.3.4.4

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}$

Étape 2.3.4.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 6$

Étape 2.3.4.6

Déplacez $6$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 6 i$

Étape 2.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 6 i$

Étape 2.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 6 i$

Étape 2.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 6 i, - 6 i$

Étape 3

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x^{2} - 36)}^{2} = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.2.1.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

${(x^{2} - 6^{2})}^{2} = 0$

Étape 4.2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 6$ .

${((x + 6) (x - 6))}^{2} = 0$

Étape 4.2.1.3

Appliquez la règle de produit à $(x + 6) (x - 6)$ .

${(x + 6)}^{2} {(x - 6)}^{2} = 0$

Étape 4.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

${(x - 6)}^{2} = 0$

Étape 4.2.3

Définissez ${(x + 6)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.3.1

Définissez ${(x + 6)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

Étape 4.2.3.2

Résolvez ${(x + 6)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.3.2.1

Définissez le $x + 6$ égal à $0$ .

$x + 6 = 0$

Étape 4.2.3.2.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 6$

Étape 4.2.4

Définissez ${(x - 6)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.4.1

Définissez ${(x - 6)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 6)}^{2} = 0$

Étape 4.2.4.2

Résolvez ${(x - 6)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.4.2.1

Définissez le $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 4.2.4.2.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 4.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x + 6)}^{2} {(x - 6)}^{2} = 0$ vraie.

$x = - 6, 6$

Étape 4.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 6, x = 6$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 6) \cup (6, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 6)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 7$ dans l’expression.

$f' (- 7) = \frac{- 2 {(- 7)}^{2} - 72}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 7$ à la puissance $2$ .

$f' (- 7) = \frac{- 2 \cdot 49 - 72}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $49$ .

$f' (- 7) = \frac{- 98 - 72}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

Étape 6.2.1.3

Soustrayez $72$ de $- 98$ .

$f' (- 7) = \frac{- 170}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

Élevez $- 7$ à la puissance $2$ .

$f' (- 7) = \frac{- 170}{{(49 - 36)}^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $36$ de $49$ .

$f' (- 7) = \frac{- 170}{13^{2}}$

Étape 6.2.2.3

Élevez $13$ à la puissance $2$ .

$f' (- 7) = \frac{- 170}{169}$

Étape 6.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 7) = - \frac{170}{169}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $- \frac{170}{169}$ .

$- \frac{170}{169}$

Étape 6.3

Sur $x = - 7$ la dérivée est $- \frac{170}{169}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, - 6)$ .

Diminue sur $(- \infty, - 6)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 6, 6)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} - 72}{{({(0)}^{2} - 36)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 - 72}{{(0^{2} - 36)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$f' (0) = \frac{0 - 72}{{(0^{2} - 36)}^{2}}$

Étape 7.2.1.3

Soustrayez $72$ de $0$ .

$f' (0) = \frac{- 72}{{(0^{2} - 36)}^{2}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = \frac{- 72}{{(0 - 36)}^{2}}$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $36$ de $0$ .

$f' (0) = \frac{- 72}{{(- 36)}^{2}}$

Étape 7.2.2.3

Élevez $- 36$ à la puissance $2$ .

$f' (0) = \frac{- 72}{1296}$

Étape 7.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 72$ et $1296$ .

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Étape 7.2.3.1.1

Factorisez $72$ à partir de $- 72$ .

$f' (0) = \frac{72 (- 1)}{1296}$

Étape 7.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.1.2.1

Factorisez $72$ à partir de $1296$ .

$f' (0) = \frac{72 \cdot - 1}{72 \cdot 18}$

Étape 7.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (0) = \frac{72 \cdot - 1}{72 \cdot 18}$

Étape 7.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (0) = \frac{- 1}{18}$

Étape 7.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (0) = - \frac{1}{18}$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $- \frac{1}{18}$ .

$- \frac{1}{18}$

Étape 7.3

Sur $x = 0$ la dérivée est $- \frac{1}{18}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 6, 6)$ .

Diminue sur $(- 6, 6)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(6, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $7$ dans l’expression.

$f' (7) = \frac{- 2 {(7)}^{2} - 72}{{({(7)}^{2} - 36)}^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$f' (7) = \frac{- 2 \cdot 49 - 72}{{(7^{2} - 36)}^{2}}$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $49$ .

$f' (7) = \frac{- 98 - 72}{{(7^{2} - 36)}^{2}}$

Étape 8.2.1.3

Soustrayez $72$ de $- 98$ .

$f' (7) = \frac{- 170}{{(7^{2} - 36)}^{2}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.2.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$f' (7) = \frac{- 170}{{(49 - 36)}^{2}}$

Étape 8.2.2.2

Soustrayez $36$ de $49$ .

$f' (7) = \frac{- 170}{13^{2}}$

Étape 8.2.2.3

Élevez $13$ à la puissance $2$ .

$f' (7) = \frac{- 170}{169}$

Étape 8.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (7) = - \frac{170}{169}$

Étape 8.2.4

La réponse finale est $- \frac{170}{169}$ .

$- \frac{170}{169}$

Étape 8.3

Sur $x = 7$ la dérivée est $- \frac{170}{169}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(6, \infty)$ .

Diminue sur $(6, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 9

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Diminue sur : $(- \infty, - 6), (- 6, 6), (6, \infty)$

Étape 10