Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 - 12 x + 6 x^{2} - x^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - 12 x + 6 x^{2} - x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Étape 1.1.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 0 - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 0 - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$f' (x) = 0 - 12 + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 0 - 12 + 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 0 - 12 + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$f' (x) = 0 - 12 + 12 x + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 0 - 12 + 12 x - \frac{d}{d x} x^{3}$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 0 - 12 + 12 x - (3 x^{2})$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f' (x) = 0 - 12 + 12 x - 3 x^{2}$

Étape 1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.1.5.1

Soustrayez $12$ de $0$ .

$f' (x) = - 12 + 12 x - 3 x^{2}$

Étape 1.1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 12$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 x^{2} + 12 x - 12$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 12$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 3 x^{2} + 12 x - 12 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 12 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 x^{2} + 12 x - 12$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 12 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $- 3$ à partir de $12 x$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 4 x) - 12 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $- 3$ à partir de $- 12$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 4 = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 (x^{2}) - 3 (- 4 x)$ .

$- 3 (x^{2} - 4 x) - 3 \cdot 4 = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 (x^{2} - 4 x) - 3 (4)$ .

$- 3 (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.2.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- 3 (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

Étape 2.2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 2.2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$- 3 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Étape 2.2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$- 3 {(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $- 3 {(x - 2)}^{2} = 0$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 3 {(x - 2)}^{2} = 0$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 {(x - 2)}^{2}}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 {(x - 2)}^{2}}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez ${(x - 2)}^{2}$ par $1$ .

${(x - 2)}^{2} = \frac{0}{- 3}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $0$ par $- 3$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 2.4

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.5

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $2$ .

$2$

Étape 4

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 12$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = 4 - 12 x + 6 x^{2} - x^{3}$ augmente et diminue est $(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$ .

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 2)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = - 3 {(1)}^{2} + 12 (1) - 12$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = - 3 \cdot 1 + 12 (1) - 12$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f' (1) = - 3 + 12 (1) - 12$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $12$ par $1$ .

$f' (1) = - 3 + 12 - 12$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.2.1

Additionnez $- 3$ et $12$ .

$f' (1) = 9 - 12$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $12$ de $9$ .

$f' (1) = - 3$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 3$ .

$- 3$

Étape 5.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $- 3$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, 2)$ .

Diminue sur $(- \infty, 2)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f' (3) = - 3 {(3)}^{2} + 12 (3) - 12$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f' (3) = - 3 \cdot 9 + 12 (3) - 12$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $9$ .

$f' (3) = - 27 + 12 (3) - 12$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $12$ par $3$ .

$f' (3) = - 27 + 36 - 12$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 6.2.2.1

Additionnez $- 27$ et $36$ .

$f' (3) = 9 - 12$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $12$ de $9$ .

$f' (3) = - 3$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 3$ .

$- 3$

Étape 6.3

Sur $x = 3$ la dérivée est $- 3$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(2, \infty)$ .

Diminue sur $(2, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Diminue sur : $(- \infty, 2), (2, \infty)$

Étape 8