Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 x^{3} - 33 x^{2} - 240 x + 2$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 33 x^{2} - 240 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 33 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 240 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 33 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 33 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 33 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 33 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 33 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 33$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 33 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 33 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 33 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 33 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 33$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 66 x + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 240 x]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 240$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 240 x$ par rapport à $x$ est $- 240 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 66 x - 240 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 66 x - 240 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $- 240$ par $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 66 x - 240 + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 66 x - 240 + 0$

Étape 1.1.5.2

Additionnez $12 x^{2} - 66 x - 240$ et $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 66 x - 240$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{2} - 66 x - 240$ .

$12 x^{2} - 66 x - 240$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{2} - 66 x - 240 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$12 x^{2} - 66 x - 240 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $6$ à partir de $12 x^{2} - 66 x - 240$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $6$ à partir de $12 x^{2}$ .

$6 (2 x^{2}) - 66 x - 240 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $6$ à partir de $- 66 x$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 11 x) - 240 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $6$ à partir de $- 240$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 11 x) + 6 (- 40) = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $6$ à partir de $6 (2 x^{2}) + 6 (- 11 x)$ .

$6 (2 x^{2} - 11 x) + 6 (- 40) = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $6$ à partir de $6 (2 x^{2} - 11 x) + 6 (- 40)$ .

$6 (2 x^{2} - 11 x - 40) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 40 = - 80$ et dont la somme est $b = - 11$ .

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Étape 2.2.2.1.1.1

Factorisez $- 11$ à partir de $- 11 x$ .

$6 (2 x^{2} - 11 x - 40) = 0$

Étape 2.2.2.1.1.2

Réécrivez $- 11$ comme $5$ plus $- 16$

$6 (2 x^{2} + (5 - 16) x - 40) = 0$

Étape 2.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$6 (2 x^{2} + 5 x - 16 x - 40) = 0$

Étape 2.2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$6 ((2 x^{2} + 5 x) - 16 x - 40) = 0$

Étape 2.2.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$6 (x (2 x + 5) - 8 (2 x + 5)) = 0$

Étape 2.2.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 5$ .

$6 ((2 x + 5) (x - 8)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$6 (2 x + 5) (x - 8) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x + 5 = 0$

$x - 8 = 0$

Étape 2.4

Définissez $2 x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $2 x + 5$ égal à $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $2 x + 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 5$

Étape 2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 5$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 5$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Étape 2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Étape 2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Étape 2.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5}{2}$

Étape 2.5

Définissez $x - 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 8$ égal à $0$ .

$x - 8 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 8$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $6 (2 x + 5) (x - 8) = 0$ vraie.

$x = - \frac{5}{2}, 8$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $- \frac{5}{2}, 8$ .

$- \frac{5}{2}, 8$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (- \frac{5}{2}, 8) \cup (8, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - \frac{5}{2})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3.5$ dans l’expression.

$f' (- 3.5) = 12 {(- 3.5)}^{2} - 66 \cdot - 3.5 - 240$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 3.5$ à la puissance $2$ .

$f' (- 3.5) = 12 \cdot 12.25 - 66 \cdot - 3.5 - 240$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $12$ par $12.25$ .

$f' (- 3.5) = 147 - 66 \cdot - 3.5 - 240$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 66$ par $- 3.5$ .

$f' (- 3.5) = 147 + 231 - 240$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.2.1

Additionnez $147$ et $231$ .

$f' (- 3.5) = 378 - 240$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $240$ de $378$ .

$f' (- 3.5) = 138$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $138$ .

$138$

Étape 5.3

Sur $x = - 3.5$ la dérivée est $138$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - \frac{5}{2})$ .

Augmente sur $(- \infty, - \frac{5}{2})$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 2.5, 8)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $2.75$ dans l’expression.

$f' (2.75) = 12 {(2.75)}^{2} - 66 \cdot 2.75 - 240$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $2.75$ à la puissance $2$ .

$f' (2.75) = 12 \cdot 7.5625 - 66 \cdot 2.75 - 240$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $12$ par $7.5625$ .

$f' (2.75) = 90.75 - 66 \cdot 2.75 - 240$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 66$ par $2.75$ .

$f' (2.75) = 90.75 - 181.5 - 240$

Étape 6.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $181.5$ de $90.75$ .

$f' (2.75) = - 90.75 - 240$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $240$ de $- 90.75$ .

$f' (2.75) = - 330.75$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 330.75$ .

$- 330.75$

Étape 6.3

Sur $x = 2.75$ la dérivée est $- 330.75$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 2.5, 8)$ .

Diminue sur $(- \frac{5}{2}, 8)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(8, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $9$ dans l’expression.

$f' (9) = 12 {(9)}^{2} - 66 \cdot 9 - 240$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$f' (9) = 12 \cdot 81 - 66 \cdot 9 - 240$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $12$ par $81$ .

$f' (9) = 972 - 66 \cdot 9 - 240$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 66$ par $9$ .

$f' (9) = 972 - 594 - 240$

Étape 7.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 7.2.2.1

Soustrayez $594$ de $972$ .

$f' (9) = 378 - 240$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $240$ de $378$ .

$f' (9) = 138$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $138$ .

$138$

Étape 7.3

Sur $x = 9$ la dérivée est $138$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(8, \infty)$ .

Augmente sur $(8, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - \frac{5}{2}), (8, \infty)$

Diminue sur : $(- \frac{5}{2}, 8)$

Étape 9