Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 x^{2} - 12 (2 x)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 24 x$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{2} - 24 x$ .

$12 x^{2} - 24 x$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{2} - 24 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$12 x^{2} - 24 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x^{2} - 24 x$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x^{2}$ .

$12 x (x) - 24 x = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $12 x$ à partir de $- 24 x$ .

$12 x (x) + 12 x (- 2) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x (x) + 12 x (- 2)$ .

$12 x (x - 2) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $12 x (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, 2$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0, 2$ .

$0, 2$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = 12 {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1) = 12 \cdot 1 - 24 \cdot - 1$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $12$ par $1$ .

$f' (- 1) = 12 - 24 \cdot - 1$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 24$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = 12 + 24$

Étape 5.2.2

Additionnez $12$ et $24$ .

$f' (- 1) = 36$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $36$ .

$36$

Étape 5.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $36$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, 0)$ .

Augmente sur $(- \infty, 0)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 2)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = 12 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 12 \cdot 1 - 24 \cdot 1$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $12$ par $1$ .

$f' (1) = 12 - 24 \cdot 1$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$f' (1) = 12 - 24$

Étape 6.2.2

Soustrayez $24$ de $12$ .

$f' (1) = - 12$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 12$ .

$- 12$

Étape 6.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $- 12$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, 2)$ .

Diminue sur $(0, 2)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f' (3) = 12 {(3)}^{2} - 24 \cdot 3$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f' (3) = 12 \cdot 9 - 24 \cdot 3$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $12$ par $9$ .

$f' (3) = 108 - 24 \cdot 3$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 24$ par $3$ .

$f' (3) = 108 - 72$

Étape 7.2.2

Soustrayez $72$ de $108$ .

$f' (3) = 36$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $36$ .

$36$

Étape 7.3

Sur $x = 3$ la dérivée est $36$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(2, \infty)$ .

Augmente sur $(2, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, 0), (2, \infty)$

Diminue sur : $(0, 2)$

Étape 9