Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{5} - 5 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{5}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$f' (x) = 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$f' (x) = 15 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x^{3}$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 (3 x^{2})$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $15 x^{4} - 15 x^{2}$ .

$15 x^{4} - 15 x^{2}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$15 {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} = 0$

Étape 2.2.2

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$15 u^{2} - 15 u = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $15 u$ à partir de $15 u^{2} - 15 u$ .

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Étape 2.2.3.1

Factorisez $15 u$ à partir de $15 u^{2}$ .

$15 u (u) - 15 u = 0$

Étape 2.2.3.2

Factorisez $15 u$ à partir de $- 15 u$ .

$15 u (u) + 15 u (- 1) = 0$

Étape 2.2.3.3

Factorisez $15 u$ à partir de $15 u (u) + 15 u (- 1)$ .

$15 u (u - 1) = 0$

Étape 2.2.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$15 x^{2} (x^{2} - 1) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 1 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 2.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x^{2} - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x^{2} - 1$ égal à $0$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $x^{2} - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 1$

Étape 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 2.5.2.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 2.5.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 2.5.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 2.5.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $15 x^{2} (x^{2} - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, 1, - 1$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0, 1, - 1$ .

$0, 1, - 1$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 1)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = 15 {(- 2)}^{4} - 15 {(- 2)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$f' (- 2) = 15 \cdot 16 - 15 {(- 2)}^{2}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $15$ par $16$ .

$f' (- 2) = 240 - 15 {(- 2)}^{2}$

Étape 5.2.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2) = 240 - 15 \cdot 4$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $- 15$ par $4$ .

$f' (- 2) = 240 - 60$

Étape 5.2.2

Soustrayez $60$ de $240$ .

$f' (- 2) = 180$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $180$ .

$180$

Étape 5.3

Sur $x = - 2$ la dérivée est $180$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - 1)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 1)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 1, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{1}{2}$ dans l’expression.

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 {(- \frac{1}{2})}^{4} - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 6.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 ({(- 1)}^{4} {(\frac{1}{2})}^{4}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 ({(- 1)}^{4} (\frac{1^{4}}{2^{4}})) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (1 (\frac{1^{4}}{2^{4}})) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $\frac{1^{4}}{2^{4}}$ par $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{2^{4}}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{16}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.6

Associez $15$ et $\frac{1}{16}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.7

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 6.2.1.7.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2})$

Étape 6.2.1.7.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

Étape 6.2.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

Étape 6.2.1.9

Multipliez $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Étape 6.2.1.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1}{2^{2}}$

Étape 6.2.1.11

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 (\frac{1}{4})$

Étape 6.2.1.12

Associez $- 15$ et $\frac{1}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} + \frac{- 15}{4}$

Étape 6.2.1.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4}$

Étape 6.2.2

Pour écrire $- \frac{15}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 6.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $16$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.2.3.1

Multipliez $\frac{15}{4}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{16}$

Étape 6.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15 - 15 \cdot 4}{16}$

Étape 6.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.5.1

Multipliez $- 15$ par $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15 - 60}{16}$

Étape 6.2.5.2

Soustrayez $60$ de $15$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 45}{16}$

Étape 6.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{45}{16}$

Étape 6.2.7

La réponse finale est $- \frac{45}{16}$ .

$- \frac{45}{16}$

Étape 6.3

Sur $x = - \frac{1}{2}$ la dérivée est $- \frac{45}{16}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 1, 0)$ .

Diminue sur $(- 1, 0)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 1)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{2}$ dans l’expression.

$f' (\frac{1}{2}) = 15 {(\frac{1}{2})}^{4} - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 15 (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 7.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (\frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{2^{4}}) - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 7.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{16}) - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 7.2.1.4

Associez $15$ et $\frac{1}{16}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 7.2.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Étape 7.2.1.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1}{2^{2}}$

Étape 7.2.1.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 (\frac{1}{4})$

Étape 7.2.1.8

Associez $- 15$ et $\frac{1}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} + \frac{- 15}{4}$

Étape 7.2.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4}$

Étape 7.2.2

Pour écrire $- \frac{15}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 7.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $16$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.2.3.1

Multipliez $\frac{15}{4}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{16}$

Étape 7.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15 - 15 \cdot 4}{16}$

Étape 7.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.5.1

Multipliez $- 15$ par $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15 - 60}{16}$

Étape 7.2.5.2

Soustrayez $60$ de $15$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 45}{16}$

Étape 7.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{45}{16}$

Étape 7.2.7

La réponse finale est $- \frac{45}{16}$ .

$- \frac{45}{16}$

Étape 7.3

Sur $x = \frac{1}{2}$ la dérivée est $- \frac{45}{16}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, 1)$ .

Diminue sur $(0, 1)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = 15 {(2)}^{4} - 15 {(2)}^{2}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f' (2) = 15 \cdot 16 - 15 {(2)}^{2}$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $15$ par $16$ .

$f' (2) = 240 - 15 {(2)}^{2}$

Étape 8.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (2) = 240 - 15 \cdot 4$

Étape 8.2.1.4

Multipliez $- 15$ par $4$ .

$f' (2) = 240 - 60$

Étape 8.2.2

Soustrayez $60$ de $240$ .

$f' (2) = 180$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $180$ .

$180$

Étape 8.3

Sur $x = 2$ la dérivée est $180$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(1, \infty)$ .

Augmente sur $(1, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 9

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - 1), (1, \infty)$

Diminue sur : $(- 1, 0), (0, 1)$

Étape 10