Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 - | x |$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - | x |$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- | x |]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- | x |]$

Étape 1.1.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- | x |]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- | x |]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- | x |$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [| x |]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [| x |]$

Étape 1.1.2.2

La dérivée de $| x |$ par rapport à $x$ est $\frac{x}{| x |}$ .

$0 - \frac{x}{| x |}$

Étape 1.1.3

Soustrayez $\frac{x}{| x |}$ de $0$ .

$f' (x) = - \frac{x}{| x |}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{x}{| x |}$ .

$- \frac{x}{| x |}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{x}{| x |} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{x}{| x |} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x = 0$

Étape 2.3

Excluez les solutions qui ne rendent pas $- \frac{x}{| x |} = 0$ vrai.

$Aucune solution$

Étape 3

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x}{| x |}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$| x | = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Étape 4.2.2

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = - \frac{x}{| x |}$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = 4 - | x |$ augmente et diminue est $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = - \frac{- 1}{| - 1 |}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 1$ et $0$ est $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 1}{1}$

Étape 6.2.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$f' (- 1) = 1$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 6.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $1$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, 0)$ .

Augmente sur $(- \infty, 0)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = - \frac{1}{| 1 |}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{1}$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 7.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f' (1) = - \frac{1}{1}$

Étape 7.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f' (1) = - 1 \cdot 1$

Étape 7.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (1) = - 1$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Étape 7.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $- 1$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, \infty)$ .

Diminue sur $(0, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, 0)$

Diminue sur : $(0, \infty)$

Étape 9