Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 (x + 2) \sqrt{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 (x + 2) x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.1.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 (x + 2) x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [(x + 2) x^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [(x + 2) x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 2$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 ((x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 1.1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 1.1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 1.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 1.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 1.1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 1.1.8

Associez les fractions.

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Étape 1.1.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 1.1.8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 ((x + 2) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 1.1.8.3

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 ((x + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 1.1.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$4 ((x + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]))$

Étape 1.1.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 ((x + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [2]))$

Étape 1.1.11

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 ((x + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (1 + 0))$

Étape 1.1.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.12.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$4 ((x + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Étape 1.1.12.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$4 ((x + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.1.13

Simplifiez

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Étape 1.1.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.1.13.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 (x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.13.3

Associez des termes.

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Étape 1.1.13.3.1

Associez $x$ et $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.13.3.2

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$4 \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.13.3.3

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.13.3.3.1

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.1.13.3.3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.13.3.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.13.3.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$4 \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.13.3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.13.3.3.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$4 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.13.3.4

Associez $4$ et $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.13.3.5

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}})}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.13.3.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.13.3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.13.3.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.13.3.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{1} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.13.3.6.4

Divisez $2 x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.13.3.7

Associez $2$ et $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + 4 \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.13.3.8

Annulez le facteur commun.

$2 x^{\frac{1}{2}} + 4 \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.13.3.9

Réécrivez l’expression.

$2 x^{\frac{1}{2}} + 4 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.13.3.10

Associez $4$ et $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.13.3.11

Additionnez $2 x^{\frac{1}{2}}$ et $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 2.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x^{\frac{1}{2}}, 1$

Étape 2.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.3

Multiplier chaque terme dans $6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ par $x^{\frac{1}{2}}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.3.1

Multipliez chaque terme dans $6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1.1

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.2.1.1.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.3.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.3.2.1.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$6 x^{\frac{1 + 1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.3.2.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$6 x^{\frac{2}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.3.2.1.1.5

Divisez $2$ par $2$ .

$6 x^{1} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.3.2.1.2

Simplifiez $6 x^{1}$ .

$6 x + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.3.2.1.3

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.3.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$6 x + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.3.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$6 x + 4 = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $0$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 x + 4 = 0$

Étape 2.4

Résolvez l’équation.

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Étape 2.4.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$6 x = - 4$

Étape 2.4.2

Divisez chaque terme dans $6 x = - 4$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.1

Divisez chaque terme dans $6 x = - 4$ par $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 4}{6}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 2.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 4}{6}$

Étape 2.4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{6}$

Étape 2.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $6$ .

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Étape 2.4.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$x = \frac{2 (- 2)}{6}$

Étape 2.4.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

Étape 2.4.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

Étape 2.4.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- 2}{3}$

Étape 2.4.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2}{3}$

Étape 2.5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ vrai.

$Aucune solution$

Étape 3

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 4.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 4.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$6 \sqrt{x^{1}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.2

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$6 \sqrt{x^{1}} + \frac{4}{\sqrt{x^{1}}}$

Étape 4.1.3

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$6 \sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x^{1}}}$

Étape 4.1.4

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$6 \sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}}$

Étape 4.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{4}{\sqrt{x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{x} = 0$

Étape 4.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Étape 4.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.2.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.3.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.3.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2.1.2

Simplifiez

$x = 0^{2}$

Étape 4.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x = 0$

Étape 4.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x < 0$

Étape 4.5

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Étape 5

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = 6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = 4 (x + 2) \sqrt{x}$ augmente et diminue est $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = 6 {(- 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{{(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Réécrivez ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ .

$f' (- 1) = 6 \sqrt{- 1} + \frac{4}{{(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2.1.2

Évaluez l’exposant.

$f' (- 1) = 6 \sqrt{- 1} + \frac{4}{{(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2.1.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4}{{(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2.1.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1.4.1

Réécrivez ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ .

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4}{\sqrt{- 1}}$

Étape 6.2.1.4.2

Évaluez l’exposant.

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4}{\sqrt{- 1}}$

Étape 6.2.1.4.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4}{i}$

Étape 6.2.1.5

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{4}{i}$ par le conjugué de $i$ pour rendre le dénominateur réel.

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4}{i} \cdot \frac{i}{i}$

Étape 6.2.1.6

Multipliez.

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Étape 6.2.1.6.1

Associez.

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4 i}{i i}$

Étape 6.2.1.6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1.6.2.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4 i}{i i}$

Étape 6.2.1.6.2.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4 i}{i i}$

Étape 6.2.1.6.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4 i}{i^{1 + 1}}$

Étape 6.2.1.6.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4 i}{i^{2}}$

Étape 6.2.1.6.2.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4 i}{- 1}$

Étape 6.2.1.7

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{4 i}{- 1}$ .

$f' (- 1) = 6 i - 1 \cdot (4 i)$

Étape 6.2.1.8

Réécrivez $- 1 \cdot (4 i)$ comme $- (4 i)$ .

$f' (- 1) = 6 i - (4 i)$

Étape 6.2.1.9

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = 6 i - 4 i$

Étape 6.2.2

Soustrayez $4 i$ de $6 i$ .

$f' (- 1) = 2 i$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $2 i$ .

$2 i$

Étape 6.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $2 i$ . Comme elle contient un nombre imaginaire, la fonction n’existe pas sur $(- \infty, 0)$ .

La fonction n’est pas réelle sur $(- \infty, 0)$ car $f' (x)$ est imaginaire

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = 6 {(1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{{(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 6 \cdot 1 + \frac{4}{{(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $6$ par $1$ .

$f' (1) = 6 + \frac{4}{{(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 6 + \frac{4}{1}$

Étape 7.2.1.4

Divisez $4$ par $1$ .

$f' (1) = 6 + 4$

Étape 7.2.2

Additionnez $6$ et $4$ .

$f' (1) = 10$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $10$ .

$10$

Étape 7.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $10$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(0, \infty)$ .

Augmente sur $(0, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(0, \infty)$

Étape 9