Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - 2 x - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 x - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{2} x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 - \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 - 2 (\frac{1}{2}) x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Étape 1.1.3.4

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$- 2 + \frac{- 2}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Étape 1.1.3.5

Associez $\frac{- 2}{2}$ et $x$ .

$- 2 + \frac{- 2 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Étape 1.1.3.6

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 1.1.3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$- 2 + \frac{2 (- x)}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Étape 1.1.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- 2 + \frac{2 (- x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Étape 1.1.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 2 + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Étape 1.1.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 + \frac{- x}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Étape 1.1.3.6.2.4

Divisez $- x$ par $1$ .

$- 2 - x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{2} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 - x + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 2 - x + \frac{1}{2} (3 x^{2})$

Étape 1.1.4.3

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$- 2 - x + \frac{3}{2} x^{2}$

Étape 1.1.4.4

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{2}$ .

$- 2 - x + \frac{3 x^{2}}{2}$

Étape 1.1.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{2} - x - 2$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{3 x^{2}}{2} - x - 2$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} - x - 2$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{3 x^{2}}{2} - x - 2 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} - x - 2 = 0$

Étape 2.2

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $2$ , puis simplifiez.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (\frac{3 x^{2}}{2}) + 2 (- x) + 2 \cdot - 2 = 0$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{3 x^{2}}{2}) + 2 (- x) + 2 \cdot - 2 = 0$

Étape 2.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$3 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot - 2 = 0$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3 x^{2} - 2 x + 2 \cdot - 2 = 0$

Étape 2.2.2.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$3 x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Étape 2.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.4

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = - 2$ et $c = - 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 4)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 4}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot - 4$ .

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Étape 2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 4}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.5.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 48}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.5.1.3

Additionnez $4$ et $48$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.5.1.4

Réécrivez $52$ comme $2^{2} \cdot 13$ .

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Étape 2.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $52$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (13)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 13}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{6}$

Étape 2.5.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{3}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 4}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot - 4$ .

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Étape 2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 4}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 48}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6.1.3

Additionnez $4$ et $48$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6.1.4

Réécrivez $52$ comme $2^{2} \cdot 13$ .

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Étape 2.6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $52$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (13)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 13}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{6}$

Étape 2.6.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{3}$

Étape 2.6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{13}}{3}$

Étape 2.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 4}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot - 4$ .

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Étape 2.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 4}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 48}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.3

Additionnez $4$ et $48$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.4

Réécrivez $52$ comme $2^{2} \cdot 13$ .

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Étape 2.7.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $52$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (13)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 13}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{6}$

Étape 2.7.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{3}$

Étape 2.7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{13}}{3}$

Étape 2.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{1 + \sqrt{13}}{3}, \frac{1 - \sqrt{13}}{3}$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $\frac{1 + \sqrt{13}}{3}, \frac{1 - \sqrt{13}}{3}$ .

$\frac{1 + \sqrt{13}}{3}, \frac{1 - \sqrt{13}}{3}$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, \frac{1 - \sqrt{13}}{3}) \cup (\frac{1 - \sqrt{13}}{3}, \frac{1 + \sqrt{13}}{3}) \cup (\frac{1 + \sqrt{13}}{3}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, \frac{1 - \sqrt{13}}{3})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.8685171$ dans l’expression.

$f' (- 1.8685171) = \frac{3 {(- 1.8685171)}^{2}}{2} - (- 1.8685171) - 2$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 5.2.1.1

Écrivez $- (- 1.8685171)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f' (- 1.8685171) = \frac{3 {(- 1.8685171)}^{2}}{2} + \frac{- (- 1.8685171)}{1} - 2$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $\frac{- (- 1.8685171)}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f' (- 1.8685171) = \frac{3 {(- 1.8685171)}^{2}}{2} + \frac{- (- 1.8685171)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 2$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $\frac{- (- 1.8685171)}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f' (- 1.8685171) = \frac{3 {(- 1.8685171)}^{2}}{2} + \frac{1.8685171 \cdot 2}{2} - 2$

Étape 5.2.1.4

Écrivez $- 2$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f' (- 1.8685171) = \frac{3 {(- 1.8685171)}^{2}}{2} + \frac{1.8685171 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1}$

Étape 5.2.1.5

Multipliez $\frac{- 2}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f' (- 1.8685171) = \frac{3 {(- 1.8685171)}^{2}}{2} + \frac{1.8685171 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 5.2.1.6

Multipliez $\frac{- 2}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f' (- 1.8685171) = \frac{3 {(- 1.8685171)}^{2}}{2} + \frac{1.8685171 \cdot 2}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Étape 5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- 1.8685171) = \frac{3 {(- 1.8685171)}^{2} + 1.8685171 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Élevez $- 1.8685171$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1.8685171) = \frac{3 \cdot 3.49135615 + 1.8685171 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

Étape 5.2.3.2

Multipliez $3$ par $3.49135615$ .

$f' (- 1.8685171) = \frac{10.47406845 + 1.8685171 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

Étape 5.2.3.3

Multipliez $- (- 1.8685171) \cdot 2$ .

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Étape 5.2.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1.8685171$ .

$f' (- 1.8685171) = \frac{10.47406845 + 1.8685171 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

Étape 5.2.3.3.2

Multipliez $1.8685171$ par $2$ .

$f' (- 1.8685171) = \frac{10.47406845 + 3.7370342 - 2 \cdot 2}{2}$

Étape 5.2.3.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f' (- 1.8685171) = \frac{10.47406845 + 3.7370342 - 4}{2}$

Étape 5.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.4.1

Additionnez $10.47406845$ et $3.7370342$ .

$f' (- 1.8685171) = \frac{14.21110265 - 4}{2}$

Étape 5.2.4.2

Soustrayez $4$ de $14.21110265$ .

$f' (- 1.8685171) = \frac{10.21110265}{2}$

Étape 5.2.4.3

Divisez $10.21110265$ par $2$ .

$f' (- 1.8685171) = 5.10555132$

Étape 5.2.5

La réponse finale est $5.10555132$ .

$5.10555132$

Étape 5.3

Sur $x = - 1.8685171$ la dérivée est $5.10555132$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, \frac{1 - \sqrt{13}}{3})$ .

Augmente sur $(- \infty, \frac{1 - \sqrt{13}}{3})$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 0.8685171, \frac{1 + \sqrt{13}}{3})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0.\overline{3}$ dans l’expression.

$f' (0.\overline{3}) = \frac{3 {(0.\overline{3})}^{2}}{2} - (0.\overline{3}) - 2$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 6.2.1.1

Écrivez $- (0.\overline{3})$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f' (0.\overline{3}) = \frac{3 {(0.\overline{3})}^{2}}{2} + \frac{- (0.\overline{3})}{1} - 2$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $\frac{- (0.\overline{3})}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f' (0.\overline{3}) = \frac{3 {(0.\overline{3})}^{2}}{2} + \frac{- (0.\overline{3})}{1} \cdot \frac{2}{2} - 2$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $\frac{- (0.\overline{3})}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f' (0.\overline{3}) = \frac{3 {(0.\overline{3})}^{2}}{2} + \frac{- 0.\overline{3} \cdot 2}{2} - 2$

Étape 6.2.1.4

Écrivez $- 2$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f' (0.\overline{3}) = \frac{3 {(0.\overline{3})}^{2}}{2} + \frac{- 0.\overline{3} \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1}$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $\frac{- 2}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f' (0.\overline{3}) = \frac{3 {(0.\overline{3})}^{2}}{2} + \frac{- 0.\overline{3} \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 6.2.1.6

Multipliez $\frac{- 2}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f' (0.\overline{3}) = \frac{3 {(0.\overline{3})}^{2}}{2} + \frac{- 0.\overline{3} \cdot 2}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Étape 6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (0.\overline{3}) = \frac{3 {(0.\overline{3})}^{2} - 0.\overline{3} \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

Étape 6.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.3.1

Élevez $0.\overline{3}$ à la puissance $2$ .

$f' (0.\overline{3}) = \frac{3 \cdot 0.11111112 - 0.\overline{3} \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $3$ par $0.11111112$ .

$f' (0.\overline{3}) = \frac{0.33333336 - 0.\overline{3} \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

Étape 6.2.3.3

Multipliez $- (0.\overline{3}) \cdot 2$ .

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Étape 6.2.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $0.\overline{3}$ .

$f' (0.\overline{3}) = \frac{0.33333336 - 0.\overline{3} \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

Étape 6.2.3.3.2

Multipliez $- 0.\overline{3}$ par $2$ .

$f' (0.\overline{3}) = \frac{0.33333336 - 0.6666667 - 2 \cdot 2}{2}$

Étape 6.2.3.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f' (0.\overline{3}) = \frac{0.33333336 - 0.6666667 - 4}{2}$

Étape 6.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.4.1

Soustrayez $0.6666667$ de $0.33333336$ .

$f' (0.\overline{3}) = \frac{- 0.\overline{3} - 4}{2}$

Étape 6.2.4.2

Soustrayez $4$ de $- 0.\overline{3}$ .

$f' (0.\overline{3}) = \frac{- 4.\overline{3}}{2}$

Étape 6.2.4.3

Divisez $- 4.\overline{3}$ par $2$ .

$f' (0.\overline{3}) = - 2.1\overline{6}$

Étape 6.2.5

La réponse finale est $- 2.1\overline{6}$ .

$- 2.1\overline{6}$

Étape 6.3

Sur $x = 0.\overline{3}$ la dérivée est $- 2.1\overline{6}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 0.8685171, \frac{1 + \sqrt{13}}{3})$ .

Diminue sur $(\frac{1 - \sqrt{13}}{3}, \frac{1 + \sqrt{13}}{3})$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{1 + \sqrt{13}}{3}, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $2.5351838$ dans l’expression.

$f' (2.5351838) = \frac{3 {(2.5351838)}^{2}}{2} - (2.5351838) - 2$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 7.2.1.1

Écrivez $- (2.5351838)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f' (2.5351838) = \frac{3 {(2.5351838)}^{2}}{2} + \frac{- (2.5351838)}{1} - 2$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $\frac{- (2.5351838)}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f' (2.5351838) = \frac{3 {(2.5351838)}^{2}}{2} + \frac{- (2.5351838)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 2$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $\frac{- (2.5351838)}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f' (2.5351838) = \frac{3 {(2.5351838)}^{2}}{2} + \frac{- 2.5351838 \cdot 2}{2} - 2$

Étape 7.2.1.4

Écrivez $- 2$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f' (2.5351838) = \frac{3 {(2.5351838)}^{2}}{2} + \frac{- 2.5351838 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1}$

Étape 7.2.1.5

Multipliez $\frac{- 2}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f' (2.5351838) = \frac{3 {(2.5351838)}^{2}}{2} + \frac{- 2.5351838 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 7.2.1.6

Multipliez $\frac{- 2}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f' (2.5351838) = \frac{3 {(2.5351838)}^{2}}{2} + \frac{- 2.5351838 \cdot 2}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Étape 7.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (2.5351838) = \frac{3 {(2.5351838)}^{2} - 2.5351838 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

Étape 7.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.3.1

Élevez $2.5351838$ à la puissance $2$ .

$f' (2.5351838) = \frac{3 \cdot 6.42715689 - 2.5351838 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $3$ par $6.42715689$ .

$f' (2.5351838) = \frac{19.28147069 - 2.5351838 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

Étape 7.2.3.3

Multipliez $- (2.5351838) \cdot 2$ .

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Étape 7.2.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $2.5351838$ .

$f' (2.5351838) = \frac{19.28147069 - 2.5351838 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

Étape 7.2.3.3.2

Multipliez $- 2.5351838$ par $2$ .

$f' (2.5351838) = \frac{19.28147069 - 5.0703676 - 2 \cdot 2}{2}$

Étape 7.2.3.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f' (2.5351838) = \frac{19.28147069 - 5.0703676 - 4}{2}$

Étape 7.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.2.4.1

Soustrayez $5.0703676$ de $19.28147069$ .

$f' (2.5351838) = \frac{14.21110309 - 4}{2}$

Étape 7.2.4.2

Soustrayez $4$ de $14.21110309$ .

$f' (2.5351838) = \frac{10.21110309}{2}$

Étape 7.2.4.3

Divisez $10.21110309$ par $2$ .

$f' (2.5351838) = 5.10555154$

Étape 7.2.5

La réponse finale est $5.10555154$ .

$5.10555154$

Étape 7.3

Sur $x = 2.5351838$ la dérivée est $5.10555154$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(\frac{1 + \sqrt{13}}{3}, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{1 + \sqrt{13}}{3}, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, \frac{1 - \sqrt{13}}{3}), (\frac{1 + \sqrt{13}}{3}, \infty)$

Diminue sur : $(\frac{1 - \sqrt{13}}{3}, \frac{1 + \sqrt{13}}{3})$

Étape 9