Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 6 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Étape 1.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 1.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 1.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 1.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Étape 1.1.6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Étape 1.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$6 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Étape 1.1.8

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$6 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Étape 1.1.9

Associez $6$ et $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{6 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Étape 1.1.10

Placez $x^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.11

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.12.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Étape 1.1.12.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.12.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 = 0$

Étape 2.3

Comme $2 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 4.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Étape 4.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Étape 4.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Étape 4.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2}}$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Étape 4.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 4.3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 4.3.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = 0^{3}$

Étape 4.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 4.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.3.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 4.3.3.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 4.3.3.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 4.3.3.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 4.3.3.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = \frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = 6 x^{\frac{1}{3}}$ augmente et diminue est $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = \frac{2}{{(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1.1

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{{({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 6.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{{(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Étape 6.2.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$f' (- 1) = \frac{2}{{(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Étape 6.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$f' (- 1) = \frac{2}{{(- 1)}^{2}}$

Étape 6.2.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{1}$

Étape 6.2.2

Divisez $2$ par $1$ .

$f' (- 1) = 2$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 6.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $2$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, 0)$ .

Augmente sur $(- \infty, 0)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = \frac{2}{{(1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = \frac{2}{1}$

Étape 7.2.2

Divisez $2$ par $1$ .

$f' (1) = 2$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 7.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $2$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(0, \infty)$ .

Augmente sur $(0, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, 0), (0, \infty)$

Étape 9