Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 + 4 x^{2} - x^{4}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 + 4 x^{2} - x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Étape 1.1.1.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 0 + 4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 0 + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$f' (x) = 0 + 8 x + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 0 + 8 x - \frac{d}{d x} x^{4}$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 0 + 8 x - (4 x^{3})$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f' (x) = 0 + 8 x - 4 x^{3}$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Additionnez $0$ et $8 x$ .

$f' (x) = 8 x - 4 x^{3}$

Étape 1.1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 4 x^{3} + 8 x$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 4 x^{3} + 8 x$ .

$- 4 x^{3} + 8 x$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 4 x^{3} + 8 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 4 x^{3} + 8 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez $- 4 x$ à partir de $- 4 x^{3} + 8 x$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $- 4 x$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$- 4 x \cdot x^{2} + 8 x = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $- 4 x$ à partir de $8 x$ .

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 2 = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $- 4 x$ à partir de $- 4 x (x^{2}) - 4 x (- 2)$ .

$- 4 x (x^{2} - 2) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x^{2} - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x^{2} - 2$ égal à $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $x^{2} - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 2$

Étape 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Étape 2.5.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{2}$

Étape 2.5.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{2}$

Étape 2.5.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 4 x (x^{2} - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$ .

$0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - \sqrt{2}) \cup (- \sqrt{2}, 0) \cup (0, \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - \sqrt{2})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2.4142135$ dans l’expression.

$f' (- 2.4142135) = - 4 {(- 2.4142135)}^{3} + 8 (- 2.4142135)$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 2.4142135$ à la puissance $3$ .

$f' (- 2.4142135) = - 4 \cdot - 14.07106672 + 8 (- 2.4142135)$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 14.07106672$ .

$f' (- 2.4142135) = 56.28426688 + 8 (- 2.4142135)$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $8$ par $- 2.4142135$ .

$f' (- 2.4142135) = 56.28426688 - 19.313708$

Étape 5.2.2

Soustrayez $19.313708$ de $56.28426688$ .

$f' (- 2.4142135) = 36.97055888$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $36.97055888$ .

$36.97055888$

Étape 5.3

Sur $x = - 2.4142135$ la dérivée est $36.97055888$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - \sqrt{2})$ .

Augmente sur $(- \infty, - \sqrt{2})$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 1.4142135, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.70710675$ dans l’expression.

$f' (- 0.70710675) = - 4 {(- 0.70710675)}^{3} + 8 (- 0.70710675)$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 0.70710675$ à la puissance $3$ .

$f' (- 0.70710675) = - 4 \cdot - 0.35355334 + 8 (- 0.70710675)$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 0.35355334$ .

$f' (- 0.70710675) = 1.41421337 + 8 (- 0.70710675)$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $8$ par $- 0.70710675$ .

$f' (- 0.70710675) = 1.41421337 - 5.656854$

Étape 6.2.2

Soustrayez $5.656854$ de $1.41421337$ .

$f' (- 0.70710675) = - 4.24264062$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 4.24264062$ .

$- 4.24264062$

Étape 6.3

Sur $x = - 0.70710675$ la dérivée est $- 4.24264062$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 1.4142135, 0)$ .

Diminue sur $(- \sqrt{2}, 0)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \sqrt{2})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0.70710675$ dans l’expression.

$f' (0.70710675) = - 4 {(0.70710675)}^{3} + 8 (0.70710675)$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $0.70710675$ à la puissance $3$ .

$f' (0.70710675) = - 4 \cdot 0.35355334 + 8 (0.70710675)$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $0.35355334$ .

$f' (0.70710675) = - 1.41421337 + 8 (0.70710675)$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $8$ par $0.70710675$ .

$f' (0.70710675) = - 1.41421337 + 5.656854$

Étape 7.2.2

Additionnez $- 1.41421337$ et $5.656854$ .

$f' (0.70710675) = 4.24264062$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $4.24264062$ .

$4.24264062$

Étape 7.3

Sur $x = 0.70710675$ la dérivée est $4.24264062$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(0, \sqrt{2})$ .

Augmente sur $(0, \sqrt{2})$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\sqrt{2}, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $2.4142135$ dans l’expression.

$f' (2.4142135) = - 4 {(2.4142135)}^{3} + 8 (2.4142135)$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $2.4142135$ à la puissance $3$ .

$f' (2.4142135) = - 4 \cdot 14.07106672 + 8 (2.4142135)$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $14.07106672$ .

$f' (2.4142135) = - 56.28426688 + 8 (2.4142135)$

Étape 8.2.1.3

Multipliez $8$ par $2.4142135$ .

$f' (2.4142135) = - 56.28426688 + 19.313708$

Étape 8.2.2

Additionnez $- 56.28426688$ et $19.313708$ .

$f' (2.4142135) = - 36.97055888$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $- 36.97055888$ .

$- 36.97055888$

Étape 8.3

Sur $x = 2.4142135$ la dérivée est $- 36.97055888$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(\sqrt{2}, \infty)$ .

Diminue sur $(\sqrt{2}, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 9

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - \sqrt{2}), (0, \sqrt{2})$

Diminue sur : $(- \sqrt{2}, 0), (\sqrt{2}, \infty)$

Étape 10