Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 6 x^{4} + 24 x^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{4} + 24 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{4}) + \frac{d}{d x} (24 x^{3})$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{4}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (24 x^{3})$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{3})$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $4$ par $6$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + \frac{d}{d x} (24 x^{3})$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 x^{3}$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + 24 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + 24 (3 x^{2})$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $3$ par $24$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + 72 x^{2}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $24 x^{3} + 72 x^{2}$ .

$24 x^{3} + 72 x^{2}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $24 x^{3} + 72 x^{2} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$24 x^{3} + 72 x^{2} = 0$

Étape 2.2

Factorisez $24 x^{2}$ à partir de $24 x^{3} + 72 x^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $24 x^{2}$ à partir de $24 x^{3}$ .

$24 x^{2} (x) + 72 x^{2} = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $24 x^{2}$ à partir de $72 x^{2}$ .

$24 x^{2} (x) + 24 x^{2} (3) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $24 x^{2}$ à partir de $24 x^{2} (x) + 24 x^{2} (3)$ .

$24 x^{2} (x + 3) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 2.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $24 x^{2} (x + 3) = 0$ vraie.

$x = 0, - 3$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0, - 3$ .

$0, - 3$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 3)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f' (- 4) = 24 {(- 4)}^{3} + 72 {(- 4)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$f' (- 4) = 24 \cdot - 64 + 72 {(- 4)}^{2}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $24$ par $- 64$ .

$f' (- 4) = - 1536 + 72 {(- 4)}^{2}$

Étape 5.2.1.3

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f' (- 4) = - 1536 + 72 \cdot 16$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $72$ par $16$ .

$f' (- 4) = - 1536 + 1152$

Étape 5.2.2

Additionnez $- 1536$ et $1152$ .

$f' (- 4) = - 384$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 384$ .

$- 384$

Étape 5.3

Sur $x = - 4$ la dérivée est $- 384$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, - 3)$ .

Diminue sur $(- \infty, - 3)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 3, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{3}{2}$ dans l’expression.

$f' (- \frac{3}{2}) = 24 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 6.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 24 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 24 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 24 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 24 (- \frac{27}{2^{3}}) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 24 (- \frac{27}{8}) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.5

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 6.2.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{27}{8}$ dans le numérateur.

$f' (- \frac{3}{2}) = 24 (\frac{- 27}{8}) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.5.2

Factorisez $8$ à partir de $24$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 8 (3) (\frac{- 27}{8}) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$f' (- \frac{3}{2}) = 8 \cdot (3 (\frac{- 27}{8})) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$f' (- \frac{3}{2}) = 3 \cdot - 27 + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.6

Multipliez $3$ par $- 27$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.7

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 6.2.1.7.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 72 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})$

Étape 6.2.1.7.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 72 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

Étape 6.2.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 72 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

Étape 6.2.1.9

Multipliez $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 72 (\frac{3^{2}}{2^{2}})$

Étape 6.2.1.10

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 72 (\frac{9}{2^{2}})$

Étape 6.2.1.11

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 72 (\frac{9}{4})$

Étape 6.2.1.12

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.2.1.12.1

Factorisez $4$ à partir de $72$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 4 (18) (\frac{9}{4})$

Étape 6.2.1.12.2

Annulez le facteur commun.

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 4 \cdot (18 (\frac{9}{4}))$

Étape 6.2.1.12.3

Réécrivez l’expression.

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 18 \cdot 9$

Étape 6.2.1.13

Multipliez $18$ par $9$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 162$

Étape 6.2.2

Additionnez $- 81$ et $162$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 81$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $81$ .

$81$

Étape 6.3

Sur $x = - \frac{3}{2}$ la dérivée est $81$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 3, 0)$ .

Augmente sur $(- 3, 0)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = 24 {(1)}^{3} + 72 {(1)}^{2}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 24 \cdot 1 + 72 {(1)}^{2}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $24$ par $1$ .

$f' (1) = 24 + 72 {(1)}^{2}$

Étape 7.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 24 + 72 \cdot 1$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $72$ par $1$ .

$f' (1) = 24 + 72$

Étape 7.2.2

Additionnez $24$ et $72$ .

$f' (1) = 96$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $96$ .

$96$

Étape 7.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $96$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(0, \infty)$ .

Augmente sur $(0, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- 3, 0), (0, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, - 3)$

Étape 9