Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - 5 x^{4} - 4 x^{2} + 9$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 5 x^{4} - 4 x^{2} + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $4$ par $- 5$ .

$- 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 20 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 20 x^{3} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$- 20 x^{3} - 8 x + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 20 x^{3} - 8 x + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $- 20 x^{3} - 8 x$ et $0$ .

$f' (x) = - 20 x^{3} - 8 x$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 20 x^{3} - 8 x$ .

$- 20 x^{3} - 8 x$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 20 x^{3} - 8 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 20 x^{3} - 8 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez $- 4 x$ à partir de $- 20 x^{3} - 8 x$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $- 4 x$ à partir de $- 20 x^{3}$ .

$- 4 x (5 x^{2}) - 8 x = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $- 4 x$ à partir de $- 8 x$ .

$- 4 x (5 x^{2}) - 4 x \cdot 2 = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $- 4 x$ à partir de $- 4 x (5 x^{2}) - 4 x (2)$ .

$- 4 x (5 x^{2} + 2) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$5 x^{2} + 2 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $5 x^{2} + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $5 x^{2} + 2$ égal à $0$ .

$5 x^{2} + 2 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $5 x^{2} + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$5 x^{2} = - 2$

Étape 2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $5 x^{2} = - 2$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x^{2} = - 2$ par $5$ .

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{- 2}{5}$

Étape 2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{- 2}{5}$

Étape 2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{5}$

Étape 2.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} = - \frac{2}{5}$

Étape 2.5.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- \frac{2}{5}}$

Étape 2.5.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{2}{5}}$ .

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Étape 2.5.2.4.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2}{5}}$

Étape 2.5.2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{2}{5}}$

Étape 2.5.2.4.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{2}{5}}$ comme $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Étape 2.5.2.4.4

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Étape 2.5.2.4.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.5.2.4.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 2.5.2.4.5.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Étape 2.5.2.4.5.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Étape 2.5.2.4.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 2.5.2.4.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 2.5.2.4.5.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 2.5.2.4.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.5.2.4.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.5.2.4.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.5.2.4.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.2.4.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.5.2.4.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Étape 2.5.2.4.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

Étape 2.5.2.4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.4.6.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

Étape 2.5.2.4.6.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{10}}{5}$

Étape 2.5.2.4.7

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Étape 2.5.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Étape 2.5.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Étape 2.5.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{5}, - \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 4 x (5 x^{2} + 2) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{i \sqrt{10}}{5}, - \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0$ .

$0$

Étape 4

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = - 20 x^{3} - 8 x$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = - 5 x^{4} - 4 x^{2} + 9$ augmente et diminue est $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = - 20 {(- 1)}^{3} - 8 \cdot - 1$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f' (- 1) = - 20 \cdot - 1 - 8 \cdot - 1$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 20$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = 20 - 8 \cdot - 1$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = 20 + 8$

Étape 5.2.2

Additionnez $20$ et $8$ .

$f' (- 1) = 28$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $28$ .

$28$

Étape 5.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $28$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, 0)$ .

Augmente sur $(- \infty, 0)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = - 20 {(1)}^{3} - 8 \cdot 1$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = - 20 \cdot 1 - 8 \cdot 1$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 20$ par $1$ .

$f' (1) = - 20 - 8 \cdot 1$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$f' (1) = - 20 - 8$

Étape 6.2.2

Soustrayez $8$ de $- 20$ .

$f' (1) = - 28$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 28$ .

$- 28$

Étape 6.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $- 28$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, \infty)$ .

Diminue sur $(0, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, 0)$

Diminue sur : $(0, \infty)$

Étape 8