Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 64 x^{2} + \frac{54}{x} - 3$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $64 x^{2} + \frac{54}{x} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [64 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $64$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $64 x^{2}$ par rapport à $x$ est $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$64 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $64$ .

$128 x + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{54}{x}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $54$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{54}{x}$ par rapport à $x$ est $54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$128 x + 54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$128 x + 54 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$128 x + 54 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.3.4

Multipliez $- 1$ par $54$ .

$128 x - 54 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$128 x - 54 x^{- 2} + 0$

Étape 1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.1.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$128 x - 54 \frac{1}{x^{2}} + 0$

Étape 1.1.5.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.5.2.1

Associez $- 54$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$128 x + \frac{- 54}{x^{2}} + 0$

Étape 1.1.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$128 x - \frac{54}{x^{2}} + 0$

Étape 1.1.5.2.3

Additionnez $128 x - \frac{54}{x^{2}}$ et $0$ .

$f' (x) = 128 x - \frac{54}{x^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $128 x - \frac{54}{x^{2}}$ .

$128 x - \frac{54}{x^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $128 x - \frac{54}{x^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$128 x - \frac{54}{x^{2}} = 0$

Étape 2.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x^{2}, 1$

Étape 2.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{2}$

Étape 2.3

Multiplier chaque terme dans $128 x - \frac{54}{x^{2}} = 0$ par $x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.3.1

Multipliez chaque terme dans $128 x - \frac{54}{x^{2}} = 0$ par $x^{2}$ .

$128 x \cdot x^{2} - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.2.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$128 (x^{2} x) - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 2.3.2.1.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 2.3.2.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$128 (x^{2} x^{1}) - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 2.3.2.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$128 x^{2 + 1} - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 2.3.2.1.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$128 x^{3} - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 2.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.3.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{54}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$128 x^{3} + \frac{- 54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$128 x^{3} + \frac{- 54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$128 x^{3} - 54 = 0 x^{2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $0$ par $x^{2}$ .

$128 x^{3} - 54 = 0$

Étape 2.4

Résolvez l’équation.

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Étape 2.4.1

Ajoutez $54$ aux deux côtés de l’équation.

$128 x^{3} = 54$

Étape 2.4.2

Soustrayez $54$ des deux côtés de l’équation.

$128 x^{3} - 54 = 0$

Étape 2.4.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $128 x^{3} - 54$ .

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Étape 2.4.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $128 x^{3}$ .

$2 (64 x^{3}) - 54 = 0$

Étape 2.4.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 54$ .

$2 (64 x^{3}) + 2 (- 27) = 0$

Étape 2.4.3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (64 x^{3}) + 2 (- 27)$ .

$2 (64 x^{3} - 27) = 0$

Étape 2.4.3.2

Réécrivez $64 x^{3}$ comme ${(4 x)}^{3}$ .

$2 ({(4 x)}^{3} - 27) = 0$

Étape 2.4.3.3

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$2 ({(4 x)}^{3} - 3^{3}) = 0$

Étape 2.4.3.4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 4 x$ et $b = 3$ .

$2 ((4 x - 3) ({(4 x)}^{2} + 4 x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Étape 2.4.3.5

Factorisez.

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Étape 2.4.3.5.1

Simplifiez

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Étape 2.4.3.5.1.1

Appliquez la règle de produit à $4 x$ .

$2 ((4 x - 3) (4^{2} x^{2} + 4 x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Étape 2.4.3.5.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$2 ((4 x - 3) (16 x^{2} + 4 x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Étape 2.4.3.5.1.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$2 ((4 x - 3) (16 x^{2} + 12 x + 3^{2})) = 0$

Étape 2.4.3.5.1.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$2 ((4 x - 3) (16 x^{2} + 12 x + 9)) = 0$

Étape 2.4.3.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (4 x - 3) (16 x^{2} + 12 x + 9) = 0$

Étape 2.4.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 x - 3 = 0$

$16 x^{2} + 12 x + 9 = 0$

Étape 2.4.5

Définissez $4 x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.5.1

Définissez $4 x - 3$ égal à $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Étape 2.4.5.2

Résolvez $4 x - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.5.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x = 3$

Étape 2.4.5.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x = 3$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.4.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 3$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Étape 2.4.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.4.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Étape 2.4.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Étape 2.4.6

Définissez $16 x^{2} + 12 x + 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.6.1

Définissez $16 x^{2} + 12 x + 9$ égal à $0$ .

$16 x^{2} + 12 x + 9 = 0$

Étape 2.4.6.2

Résolvez $16 x^{2} + 12 x + 9 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.4.6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 16$ , $b = 12$ et $c = 9$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 9)}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.4.6.2.3

Simplifiez

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Étape 2.4.6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.6.2.3.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.4.6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 16 \cdot 9$ .

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Étape 2.4.6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.4.6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 64$ par $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.4.6.2.3.1.3

Soustrayez $576$ de $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.4.6.2.3.1.4

Réécrivez $- 432$ comme $- 1 (432)$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.4.6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (432)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.4.6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.4.6.2.3.1.7

Réécrivez $432$ comme $12^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.4.6.2.3.1.7.1

Factorisez $144$ à partir de $432$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.4.6.2.3.1.7.2

Réécrivez $144$ comme $12^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.4.6.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Étape 2.4.6.2.3.1.9

Déplacez $12$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.4.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$

Étape 2.4.6.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 2.4.6.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.4.6.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.6.2.4.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.4.6.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 16 \cdot 9$ .

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Étape 2.4.6.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.4.6.2.4.1.2.2

Multipliez $- 64$ par $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.4.6.2.4.1.3

Soustrayez $576$ de $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.4.6.2.4.1.4

Réécrivez $- 432$ comme $- 1 (432)$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.4.6.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (432)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.4.6.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.4.6.2.4.1.7

Réécrivez $432$ comme $12^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.4.6.2.4.1.7.1

Factorisez $144$ à partir de $432$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.4.6.2.4.1.7.2

Réécrivez $144$ comme $12^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.4.6.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Étape 2.4.6.2.4.1.9

Déplacez $12$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.4.6.2.4.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$

Étape 2.4.6.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 2.4.6.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 2.4.6.2.4.5

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 2.4.6.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 3 i \sqrt{3})}{8}$

Étape 2.4.6.2.4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (- 3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - 3 i \sqrt{3})}{8}$

Étape 2.4.6.2.4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 2.4.6.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.4.6.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.6.2.5.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.4.6.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 16 \cdot 9$ .

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Étape 2.4.6.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.4.6.2.5.1.2.2

Multipliez $- 64$ par $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.4.6.2.5.1.3

Soustrayez $576$ de $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.4.6.2.5.1.4

Réécrivez $- 432$ comme $- 1 (432)$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.4.6.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (432)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.4.6.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.4.6.2.5.1.7

Réécrivez $432$ comme $12^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.4.6.2.5.1.7.1

Factorisez $144$ à partir de $432$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.4.6.2.5.1.7.2

Réécrivez $144$ comme $12^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.4.6.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Étape 2.4.6.2.5.1.9

Déplacez $12$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.4.6.2.5.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$

Étape 2.4.6.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 2.4.6.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 3 - 3 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 2.4.6.2.5.5

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 3 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 2.4.6.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (3 i \sqrt{3})}{8}$

Étape 2.4.6.2.5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + 3 i \sqrt{3})}{8}$

Étape 2.4.6.2.5.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 2.4.6.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 2.4.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (4 x - 3) (16 x^{2} + 12 x + 9) = 0$ vraie.

$x = \frac{3}{4}, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{54}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{3}{4}) \cup (\frac{3}{4}, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = 128 (- 1) - \frac{54}{{(- 1)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $128$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = - 128 - \frac{54}{{(- 1)}^{2}}$

Étape 6.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1) = - 128 - \frac{54}{1}$

Étape 6.2.1.3

Divisez $54$ par $1$ .

$f' (- 1) = - 128 - 1 \cdot 54$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $54$ .

$f' (- 1) = - 128 - 54$

Étape 6.2.2

Soustrayez $54$ de $- 128$ .

$f' (- 1) = - 182$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 182$ .

$- 182$

Étape 6.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $- 182$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, 0)$ .

Diminue sur $(- \infty, 0)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \frac{3}{4})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0.375$ dans l’expression.

$f' (0.375) = 128 (0.375) - \frac{54}{{(0.375)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Multipliez $128$ par $0.375$ .

$f' (0.375) = 48 - \frac{54}{{(0.375)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2

Élevez $0.375$ à la puissance $2$ .

$f' (0.375) = 48 - \frac{54}{0.140625}$

Étape 7.2.1.3

Divisez $54$ par $0.140625$ .

$f' (0.375) = 48 - 1 \cdot 384$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $384$ .

$f' (0.375) = 48 - 384$

Étape 7.2.2

Soustrayez $384$ de $48$ .

$f' (0.375) = - 336$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 336$ .

$- 336$

Étape 7.3

Sur $x = 0.375$ la dérivée est $- 336$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, \frac{3}{4})$ .

Diminue sur $(0, \frac{3}{4})$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{3}{4}, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $1.75$ dans l’expression.

$f' (1.75) = 128 (1.75) - \frac{54}{{(1.75)}^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Multipliez $128$ par $1.75$ .

$f' (1.75) = 224 - \frac{54}{{(1.75)}^{2}}$

Étape 8.2.1.2

Élevez $1.75$ à la puissance $2$ .

$f' (1.75) = 224 - \frac{54}{3.0625}$

Étape 8.2.1.3

Divisez $54$ par $3.0625$ .

$f' (1.75) = 224 - 1 \cdot 17.63265306$

Étape 8.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $17.63265306$ .

$f' (1.75) = 224 - 17.63265306$

Étape 8.2.2

Soustrayez $17.63265306$ de $224$ .

$f' (1.75) = 206.36734693$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $206.36734693$ .

$206.36734693$

Étape 8.3

Sur $x = 1.75$ la dérivée est $206.36734693$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(\frac{3}{4}, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{3}{4}, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 9

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(\frac{3}{4}, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, 0), (0, \frac{3}{4})$

Étape 10