Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x {(2 x - 3)}^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Réécrivez ${(2 x - 3)}^{2}$ comme $(2 x - 3) (2 x - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [x ((2 x - 3) (2 x - 3))]$

Étape 1.1.2

Développez $(2 x - 3) (2 x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x (2 x (2 x - 3) - 3 (2 x - 3))]$

Étape 1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x - 3))]$

Étape 1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

Étape 1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d}{d x} [x (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

Étape 1.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

Étape 1.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

Étape 1.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

Étape 1.1.3.1.4

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 6 x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

Étape 1.1.3.1.5

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 6 x - 6 x - 3 \cdot - 3)]$

Étape 1.1.3.1.6

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 6 x - 6 x + 9)]$

Étape 1.1.3.2

Soustrayez $6 x$ de $- 6 x$ .

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 12 x + 9)]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 4 x^{2} - 12 x + 9$ .

$x \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x + 9] + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.5

Différenciez.

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Étape 1.1.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} - 12 x + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$x (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.5.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.5.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$x (8 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.5.5

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (8 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.5.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (8 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.5.7

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$x (8 x - 12 + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.5.8

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x (8 x - 12 + 0) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.5.9

Additionnez $8 x - 12$ et $0$ .

$x (8 x - 12) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.5.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (8 x - 12) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \cdot 1$

Étape 1.1.5.11

Multipliez $4 x^{2} - 12 x + 9$ par $1$ .

$x (8 x - 12) + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Étape 1.1.6

Simplifiez

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Étape 1.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (8 x) + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Étape 1.1.6.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$8 (x^{1} x) + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Étape 1.1.6.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$8 (x^{1} x^{1}) + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Étape 1.1.6.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 x^{1 + 1} + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Étape 1.1.6.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$8 x^{2} + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Étape 1.1.6.2.5

Déplacez $- 12$ à gauche de $x$ .

$8 x^{2} - 12 \cdot x + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Étape 1.1.6.2.6

Additionnez $8 x^{2}$ et $4 x^{2}$ .

$12 x^{2} - 12 x - 12 x + 9$

Étape 1.1.6.2.7

Soustrayez $12 x$ de $- 12 x$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 9$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{2} - 24 x + 9$ .

$12 x^{2} - 24 x + 9$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{2} - 24 x + 9 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$12 x^{2} - 24 x + 9 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $12 x^{2} - 24 x + 9$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $12 x^{2}$ .

$3 (4 x^{2}) - 24 x + 9 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 24 x$ .

$3 (4 x^{2}) + 3 (- 8 x) + 9 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$3 (4 x^{2}) + 3 (- 8 x) + 3 (3) = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 (4 x^{2}) + 3 (- 8 x)$ .

$3 (4 x^{2} - 8 x) + 3 (3) = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (4 x^{2} - 8 x) + 3 (3)$ .

$3 (4 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot 3 = 12$ et dont la somme est $b = - 8$ .

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Étape 2.2.2.1.1.1

Factorisez $- 8$ à partir de $- 8 x$ .

$3 (4 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

Étape 2.2.2.1.1.2

Réécrivez $- 8$ comme $- 2$ plus $- 6$

$3 (4 x^{2} + (- 2 - 6) x + 3) = 0$

Étape 2.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 (4 x^{2} - 2 x - 6 x + 3) = 0$

Étape 2.2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$3 ((4 x^{2} - 2 x) - 6 x + 3) = 0$

Étape 2.2.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$3 (2 x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1)) = 0$

Étape 2.2.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$3 ((2 x - 1) (2 x - 3)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 (2 x - 1) (2 x - 3) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Étape 2.4

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 2.5

Définissez $2 x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $2 x - 3$ égal à $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $2 x - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 3$

Étape 2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 (2 x - 1) (2 x - 3) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $\frac{1}{2}, \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, \frac{1}{2})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.5$ dans l’expression.

$f' (- 0.5) = 12 {(- 0.5)}^{2} - 24 \cdot - 0.5 + 9$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 0.5$ à la puissance $2$ .

$f' (- 0.5) = 12 \cdot 0.25 - 24 \cdot - 0.5 + 9$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $12$ par $0.25$ .

$f' (- 0.5) = 3 - 24 \cdot - 0.5 + 9$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 24$ par $- 0.5$ .

$f' (- 0.5) = 3 + 12 + 9$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 5.2.2.1

Additionnez $3$ et $12$ .

$f' (- 0.5) = 15 + 9$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $15$ et $9$ .

$f' (- 0.5) = 24$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $24$ .

$24$

Étape 5.3

Sur $x = - 0.5$ la dérivée est $24$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, \frac{1}{2})$ .

Augmente sur $(- \infty, \frac{1}{2})$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0.5, \frac{3}{2})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = 12 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 9$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 12 \cdot 1 - 24 \cdot 1 + 9$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $12$ par $1$ .

$f' (1) = 12 - 24 \cdot 1 + 9$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$f' (1) = 12 - 24 + 9$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $24$ de $12$ .

$f' (1) = - 12 + 9$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $- 12$ et $9$ .

$f' (1) = - 3$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 3$ .

$- 3$

Étape 6.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $- 3$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0.5, \frac{3}{2})$ .

Diminue sur $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{3}{2}, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $2.5$ dans l’expression.

$f' (2.5) = 12 {(2.5)}^{2} - 24 \cdot 2.5 + 9$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $2.5$ à la puissance $2$ .

$f' (2.5) = 12 \cdot 6.25 - 24 \cdot 2.5 + 9$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $12$ par $6.25$ .

$f' (2.5) = 75 - 24 \cdot 2.5 + 9$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 24$ par $2.5$ .

$f' (2.5) = 75 - 60 + 9$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 7.2.2.1

Soustrayez $60$ de $75$ .

$f' (2.5) = 15 + 9$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $15$ et $9$ .

$f' (2.5) = 24$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $24$ .

$24$

Étape 7.3

Sur $x = 2.5$ la dérivée est $24$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(\frac{3}{2}, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{3}{2}, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, \frac{1}{2}), (\frac{3}{2}, \infty)$

Diminue sur : $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$

Étape 9