Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 8 x^{3} + 7 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x^{3} + 7 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{3}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7 x]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $8$ .

$24 x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x^{2} + 7 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$24 x^{2} + 7 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $7$ par $1$ .

$f' (x) = 24 x^{2} + 7$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $24 x^{2} + 7$ .

$24 x^{2} + 7$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $24 x^{2} + 7 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$24 x^{2} + 7 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$24 x^{2} = - 7$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $24 x^{2} = - 7$ par $24$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $24 x^{2} = - 7$ par $24$ .

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{- 7}{24}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $24$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{- 7}{24}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 7}{24}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} = - \frac{7}{24}$

Étape 2.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- \frac{7}{24}}$

Étape 2.5

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{7}{24}}$ .

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Étape 2.5.1

Réécrivez $- \frac{7}{24}$ comme ${(\frac{i}{2})}^{2} \frac{7}{6}$ .

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Étape 2.5.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{7}{24}}$

Étape 2.5.1.2

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $7$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 7}{24}}$

Étape 2.5.1.3

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $24$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 7}{2^{2} \cdot 6}}$

Étape 2.5.1.4

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} \cdot 7}{2^{2} \cdot 6}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} \frac{7}{6})}$

Étape 2.5.1.5

Réécrivez $i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ comme ${(\frac{i}{2})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} \frac{7}{6}}$

Étape 2.5.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm \frac{i}{2} \sqrt{\frac{7}{6}}$

Étape 2.5.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{7}{6}}$ comme $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$

Étape 2.5.4

Multipliez $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} (\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})$

Étape 2.5.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.5.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Étape 2.5.5.2

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Étape 2.5.5.3

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Étape 2.5.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Étape 2.5.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Étape 2.5.5.6

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 2.5.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.5.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.5.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.5.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.5.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Étape 2.5.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6}$

Étape 2.5.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.6.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7 \cdot 6}}{6}$

Étape 2.5.6.2

Multipliez $7$ par $6$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{42}}{6}$

Étape 2.5.7

Multipliez $\frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{42}}{6}$ .

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Étape 2.5.7.1

Multipliez $\frac{i}{2}$ par $\frac{\sqrt{42}}{6}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{42}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.5.7.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{42}}{12}$

Étape 2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{i \sqrt{42}}{12}$

Étape 2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{i \sqrt{42}}{12}$

Étape 2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{i \sqrt{42}}{12}, - \frac{i \sqrt{42}}{12}$

Étape 3

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé

Étape 4

Aucun point ne rend la dérivée $f' (x) = 24 x^{2} + 7$ égale à $0$ ni indéfinie. L’intervalle pour vérifier si $f (x) = 8 x^{3} + 7 x$ est croissant ou décroissant est $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre, tel que $1$ , de l’intervalle $(- \infty, \infty)$ dans la dérivée $f' (x) = 24 x^{2} + 7$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif. Si le résultat est négatif, le graphe est décroissant sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ . Si le résultat est positif, le graphe est croissant sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = 24 {(1)}^{2} + 7$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 24 \cdot 1 + 7$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $24$ par $1$ .

$f' (1) = 24 + 7$

Étape 5.2.2

Additionnez $24$ et $7$ .

$f' (1) = 31$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $31$ .

$31$

Étape 6

Le résultat du remplacement de $1$ dans $f' (x) = 24 x^{2} + 7$ est $31$ , qui est positif, si bien que le graphe est croissant sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ .

Augmente sur $(- \infty, \infty)$ depuis $24 x^{2} + 7 > 0$

Étape 7

Augmente sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ signifie que la fonction est toujours croissante.

Toujours croissant

Étape 8