Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{8 - x^{2}}$ comme ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 8 - x^{2}$ .

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Étape 1.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.8

Associez les fractions.

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Étape 1.1.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(8 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(8 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.8.3

Placez ${(8 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.8.4

Associez $\frac{1}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{2}) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.10

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.11

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x)) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.14

Associez les fractions.

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Étape 1.1.14.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.14.2

Associez $- 2$ et $\frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.14.3

Associez $\frac{- 2 x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.15

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.16

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.18

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2}}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.19

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.20

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.20.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.20.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.20.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{- x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.21

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.22

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Étape 1.1.23

Multipliez ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.24

Pour écrire ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.25

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.26

Multipliez ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.26.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.26.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.26.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(8 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.26.4

Divisez $2$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 8 - x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.27

Simplifiez ${(8 - x^{2})}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 8 - x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.28

Soustrayez $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 8}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.29

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 8}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{- 2 x^{2} + 8}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{- 2 x^{2} + 8}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$- 2 x^{2} + 8 = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x^{2} = - 8$

Étape 2.3.2

Divisez chaque terme dans $- 2 x^{2} = - 8$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x^{2} = - 8$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 8}{- 2}$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 2.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 8}{- 2}$

Étape 2.3.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{- 2}$

Étape 2.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.3.1

Divisez $- 8$ par $- 2$ .

$x^{2} = 4$

Étape 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 2.3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 2.3.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 2.3.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 2.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 2.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 2.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $2, - 2$ .

$2, - 2$

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 4.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 4.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{- 2 x^{2} + 8}{\sqrt{{(- x^{2} + 8)}^{1}}}$

Étape 4.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{- 2 x^{2} + 8}{\sqrt{- x^{2} + 8}}$

Étape 4.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{- 2 x^{2} + 8}{\sqrt{- x^{2} + 8}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{- x^{2} + 8} = 0$

Étape 4.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{- x^{2} + 8}}^{2} = 0^{2}$

Étape 4.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{- x^{2} + 8}$ comme ${(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.2.1

Simplifiez ${({(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.3.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.3.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(- x^{2} + 8)}^{1} = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2.1.2

Simplifiez

$- x^{2} + 8 = 0^{2}$

Étape 4.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- x^{2} + 8 = 0$

Étape 4.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.3.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = - 8$

Étape 4.3.3.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 8$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 8$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Étape 4.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Étape 4.3.3.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{- 1}$

Étape 4.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.2.3.1

Divisez $- 8$ par $- 1$ .

$x^{2} = 8$

Étape 4.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{8}$

Étape 4.3.3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{8}$ .

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Étape 4.3.3.4.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.3.3.4.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \pm \sqrt{4 (2)}$

Étape 4.3.3.4.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Étape 4.3.3.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm 2 \sqrt{2}$

Étape 4.3.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.3.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2 \sqrt{2}$

Étape 4.3.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2 \sqrt{2}$

Étape 4.3.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Étape 4.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{- x^{2} + 8}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$- x^{2} + 8 < 0$

Étape 4.5

Résolvez $x$ .

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Étape 4.5.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x^{2} < - 8$

Étape 4.5.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} < - 8$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} < - 8$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 8}{- 1}$

Étape 4.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 8}{- 1}$

Étape 4.5.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} > \frac{- 8}{- 1}$

Étape 4.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.5.2.3.1

Divisez $- 8$ par $- 1$ .

$x^{2} > 8$

Étape 4.5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{8}$

Étape 4.5.4

Simplifiez l’équation.

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Étape 4.5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.5.4.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | > \sqrt{8}$

Étape 4.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.5.4.2.1

Simplifiez $\sqrt{8}$ .

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Étape 4.5.4.2.1.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.5.4.2.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$| x | > \sqrt{4 (2)}$

Étape 4.5.4.2.1.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$| x | > \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Étape 4.5.4.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | > | 2 | \sqrt{2}$

Étape 4.5.4.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$| x | > 2 \sqrt{2}$

Étape 4.5.5

Écrivez $| x | > 2 \sqrt{2}$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 4.5.5.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 4.5.5.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x > 2 \sqrt{2}$

Étape 4.5.5.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 4.5.5.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x > 2 \sqrt{2}$

Étape 4.5.5.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x > 2 \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x > 2 \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Étape 4.5.6

Déterminez l’intersection de $x > 2 \sqrt{2}$ et $x \geq 0$ .

$x > 2 \sqrt{2}$

Étape 4.5.7

Divisez chaque terme dans $- x > 2 \sqrt{2}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.5.7.1

Divisez chaque terme dans $- x > 2 \sqrt{2}$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Étape 4.5.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.5.7.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} < \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Étape 4.5.7.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Étape 4.5.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.5.7.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$ .

$x < - 1 \cdot (2 \sqrt{2})$

Étape 4.5.7.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot (2 \sqrt{2})$ comme $- (2 \sqrt{2})$ .

$x < - (2 \sqrt{2})$

Étape 4.5.7.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x < - 2 \sqrt{2}$

Étape 4.5.8

Déterminez l’union des solutions.

$x < - 2 \sqrt{2}$ ou $x > 2 \sqrt{2}$

Étape 4.6

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq - 2 \sqrt{2}, x \geq 2 \sqrt{2}$

$(- \infty, - 2 \sqrt{2}] \cup [2 \sqrt{2}, \infty)$

$x \leq - 2 \sqrt{2}, x \geq 2 \sqrt{2}$

$(- \infty, - 2 \sqrt{2}] \cup [2 \sqrt{2}, \infty)$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 2 \sqrt{2}) \cup (- 2 \sqrt{2}, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, 2 \sqrt{2}) \cup (2 \sqrt{2}, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 2 \sqrt{2})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3.828427$ dans l’expression.

$f' (- 3.828427) = \frac{- 2 {(- 3.828427)}^{2} + 8}{{(- {(- 3.828427)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 3.828427$ à la puissance $2$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 2 \cdot 14.65685329 + 8}{{(- {(- 3.828427)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $14.65685329$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 29.31370658 + 8}{{(- {(- 3.828427)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2.1.3

Additionnez $- 29.31370658$ et $8$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(- {(- 3.828427)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1.1

Élevez $- 3.828427$ à la puissance $2$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(- 1 \cdot 14.65685329 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $14.65685329$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(- 14.65685329 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $- 14.65685329$ et $8$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(- 6.65685329)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2.2.3

Réécrivez $- 6.65685329$ comme ${(2.58008784 i)}^{2}$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{({(2.58008784 i)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2.2.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(2.58008784 i)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 6.2.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(2.58008784 i)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 6.2.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{2.58008784 i}$

Étape 6.2.2.6

Simplifiez

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{2.58008784 i}$

Étape 6.2.3

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{- 21.31370658}{2.58008784 i}$ par le conjugué de $2.58008784 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{2.58008784 i} \cdot \frac{i}{i}$

Étape 6.2.4

Multipliez.

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Étape 6.2.4.1

Associez.

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 i i}$

Étape 6.2.4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.4.2.1

Ajoutez des parenthèses.

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 (i i)}$

Étape 6.2.4.2.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 (i i)}$

Étape 6.2.4.2.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 (i i)}$

Étape 6.2.4.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 i^{1 + 1}}$

Étape 6.2.4.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 i^{2}}$

Étape 6.2.4.2.6

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 \cdot - 1}$

Étape 6.2.5

Multipliez $2.58008784$ par $- 1$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{- 2.58008784}$

Étape 6.2.6

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$f' (- 3.828427) = \frac{(21.31370658) i}{2.58008784}$

Étape 6.2.7

Factorisez $21.31370658$ à partir de $21.31370658 i$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{21.31370658 (i)}{2.58008784}$

Étape 6.2.8

Factorisez $2.58008784$ à partir de $2.58008784$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{21.31370658 (i)}{2.58008784 (1)}$

Étape 6.2.9

Séparez les fractions.

$f' (- 3.828427) = \frac{21.31370658}{2.58008784} \cdot \frac{i}{1}$

Étape 6.2.10

Divisez $21.31370658$ par $2.58008784$ .

$f' (- 3.828427) = 8.26084531 (\frac{i}{1})$

Étape 6.2.11

Divisez $i$ par $1$ .

$f' (- 3.828427) = 8.26084531 i$

Étape 6.2.12

La réponse finale est $8.26084531 i$ .

$8.26084531 i$

Étape 6.3

Sur $x = - 3.828427$ la dérivée est $8.26084531 i$ . Comme elle contient un nombre imaginaire, la fonction n’existe pas sur $(- \infty, - 2 \sqrt{2})$ .

La fonction n’est pas réelle sur $(- \infty, - 2 \sqrt{2})$ car $f' (x)$ est imaginaire

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 2.828427, - 2)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2.4142135$ dans l’expression.

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 2 {(- 2.4142135)}^{2} + 8}{{(- {(- 2.4142135)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Élevez $- 2.4142135$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 2 \cdot 5.82842682 + 8}{{(- {(- 2.4142135)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $5.82842682$ .

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 11.65685364 + 8}{{(- {(- 2.4142135)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.2.1.3

Additionnez $- 11.65685364$ et $8$ .

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{(- {(- 2.4142135)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.2.1.1

Élevez $- 2.4142135$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{(- 1 \cdot 5.82842682 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $5.82842682$ .

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{(- 5.82842682 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $- 5.82842682$ et $8$ .

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{2.17157317}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.2.2.3

Réécrivez $2.17157317$ comme ${1.47362586}^{2}$ .

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{({1.47362586}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.2.2.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{1.47362586}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 7.2.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{1.47362586}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 7.2.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{1.47362586}$

Étape 7.2.2.6

Évaluez l’exposant.

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{1.47362586}$

Étape 7.2.3

Divisez $- 3.65685364$ par $1.47362586$ .

$f' (- 2.4142135) = - 2.48153465$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $- 2.48153465$ .

$- 2.48153465$

Étape 7.3

Sur $x = - 2.4142135$ la dérivée est $- 2.48153465$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 2.828427, - 2)$ .

Diminue sur $(- 2 \sqrt{2}, - 2)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 2, 2)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} + 8}{{(- {(0)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 + 8}{{(- 0^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$f' (0) = \frac{0 + 8}{{(- 0^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2.1.3

Additionnez $0$ et $8$ .

$f' (0) = \frac{8}{{(- 0^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = \frac{8}{{(- 0 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f' (0) = \frac{8}{{(0 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2.2.2

Additionnez $0$ et $8$ .

$f' (0) = \frac{8}{8^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2.3

Placez $8^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (0) = 8 \cdot 8^{- \frac{1}{2}}$

Étape 8.2.4

Multipliez $8$ par $8^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.2.4.1

Multipliez $8$ par $8^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 8.2.4.1.1

Élevez $8$ à la puissance $1$ .

$f' (0) = 8 \cdot 8^{- \frac{1}{2}}$

Étape 8.2.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (0) = 8^{1 - \frac{1}{2}}$

Étape 8.2.4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f' (0) = 8^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Étape 8.2.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (0) = 8^{\frac{2 - 1}{2}}$

Étape 8.2.4.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$f' (0) = 8^{\frac{1}{2}}$

Étape 8.2.5

La réponse finale est $8^{\frac{1}{2}}$ .

$8^{\frac{1}{2}}$

Étape 8.3

Sur $x = 0$ la dérivée est $8^{\frac{1}{2}}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 2, 2)$ .

Augmente sur $(- 2, 2)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(2, 2 \sqrt{2})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $2.4142135$ dans l’expression.

$f' (2.4142135) = \frac{- 2 {(2.4142135)}^{2} + 8}{{(- {(2.4142135)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.1.1

Élevez $2.4142135$ à la puissance $2$ .

$f' (2.4142135) = \frac{- 2 \cdot 5.82842682 + 8}{{(- {2.4142135}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $5.82842682$ .

$f' (2.4142135) = \frac{- 11.65685364 + 8}{{(- {2.4142135}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2.1.3

Additionnez $- 11.65685364$ et $8$ .

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{(- {2.4142135}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.2.1.1

Élevez $2.4142135$ à la puissance $2$ .

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{(- 1 \cdot 5.82842682 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $5.82842682$ .

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{(- 5.82842682 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2.2.2

Additionnez $- 5.82842682$ et $8$ .

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{2.17157317}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2.2.3

Réécrivez $2.17157317$ comme ${1.47362586}^{2}$ .

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{({1.47362586}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2.2.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{1.47362586}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 9.2.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{1.47362586}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 9.2.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{1.47362586}$

Étape 9.2.2.6

Évaluez l’exposant.

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{1.47362586}$

Étape 9.2.3

Divisez $- 3.65685364$ par $1.47362586$ .

$f' (2.4142135) = - 2.48153465$

Étape 9.2.4

La réponse finale est $- 2.48153465$ .

$- 2.48153465$

Étape 9.3

Sur $x = 2.4142135$ la dérivée est $- 2.48153465$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(2, 2 \sqrt{2})$ .

Diminue sur $(2, 2 \sqrt{2})$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 10

Remplacez une valeur de l’intervalle $(2 \sqrt{2}, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 10.1

Remplacez la variable $x$ par $3.828427$ dans l’expression.

$f' (3.828427) = \frac{- 2 {(3.828427)}^{2} + 8}{{(- {(3.828427)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.1.1

Élevez $3.828427$ à la puissance $2$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 2 \cdot 14.65685329 + 8}{{(- {3.828427}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $14.65685329$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 29.31370658 + 8}{{(- {3.828427}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.2.1.3

Additionnez $- 29.31370658$ et $8$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(- {3.828427}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.2.1.1

Élevez $3.828427$ à la puissance $2$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(- 1 \cdot 14.65685329 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $14.65685329$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(- 14.65685329 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.2.2.2

Additionnez $- 14.65685329$ et $8$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(- 6.65685329)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.2.2.3

Réécrivez $- 6.65685329$ comme ${(2.58008784 i)}^{2}$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{({(2.58008784 i)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.2.2.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(2.58008784 i)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 10.2.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(2.58008784 i)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 10.2.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{2.58008784 i}$

Étape 10.2.2.6

Simplifiez

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{2.58008784 i}$

Étape 10.2.3

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{- 21.31370658}{2.58008784 i}$ par le conjugué de $2.58008784 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{2.58008784 i} \cdot \frac{i}{i}$

Étape 10.2.4

Multipliez.

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Étape 10.2.4.1

Associez.

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 i i}$

Étape 10.2.4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.4.2.1

Ajoutez des parenthèses.

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 (i i)}$

Étape 10.2.4.2.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 (i i)}$

Étape 10.2.4.2.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 (i i)}$

Étape 10.2.4.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 i^{1 + 1}}$

Étape 10.2.4.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 i^{2}}$

Étape 10.2.4.2.6

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 \cdot - 1}$

Étape 10.2.5

Multipliez $2.58008784$ par $- 1$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{- 2.58008784}$

Étape 10.2.6

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$f' (3.828427) = \frac{(21.31370658) i}{2.58008784}$

Étape 10.2.7

Factorisez $21.31370658$ à partir de $21.31370658 i$ .

$f' (3.828427) = \frac{21.31370658 (i)}{2.58008784}$

Étape 10.2.8

Factorisez $2.58008784$ à partir de $2.58008784$ .

$f' (3.828427) = \frac{21.31370658 (i)}{2.58008784 (1)}$

Étape 10.2.9

Séparez les fractions.

$f' (3.828427) = \frac{21.31370658}{2.58008784} \cdot \frac{i}{1}$

Étape 10.2.10

Divisez $21.31370658$ par $2.58008784$ .

$f' (3.828427) = 8.26084531 (\frac{i}{1})$

Étape 10.2.11

Divisez $i$ par $1$ .

$f' (3.828427) = 8.26084531 i$

Étape 10.2.12

La réponse finale est $8.26084531 i$ .

$8.26084531 i$

Étape 10.3

Sur $x = 3.828427$ la dérivée est $8.26084531 i$ . Comme elle contient un nombre imaginaire, la fonction n’existe pas sur $(2 \sqrt{2}, \infty)$ .

La fonction n’est pas réelle sur $(2 \sqrt{2}, \infty)$ car $f' (x)$ est imaginaire

Étape 11

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- 2, 2)$

Diminue sur : $(- 2 \sqrt{2}, - 2), (2, 2 \sqrt{2})$

Étape 12