Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 7 x^{2} - 5$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x^{2} - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{2}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $7$ .

$14 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$14 x + 0$

Étape 1.1.3.2

Additionnez $14 x$ et $0$ .

$f' (x) = 14 x$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $14 x$ .

$14 x$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $14 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$14 x = 0$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $14 x = 0$ par $14$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $14 x = 0$ par $14$ .

$\frac{14 x}{14} = \frac{0}{14}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $14$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{14 x}{14} = \frac{0}{14}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{14}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Divisez $0$ par $14$ .

$x = 0$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0$ .

$0$

Étape 4

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = 14 x$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = 7 x^{2} - 5$ augmente et diminue est $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = 14 (- 1)$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Multipliez $14$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = - 14$

Étape 5.2.2

La réponse finale est $- 14$ .

$- 14$

Étape 5.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $- 14$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, 0)$ .

Diminue sur $(- \infty, 0)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = 14 (1)$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Multipliez $14$ par $1$ .

$f' (1) = 14$

Étape 6.2.2

La réponse finale est $14$ .

$14$

Étape 6.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $14$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(0, \infty)$ .

Augmente sur $(0, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(0, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, 0)$

Étape 8