Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x \sqrt{16 - x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{16 - x^{2}}$ comme ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 16 - x^{2}$ .

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Étape 1.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $16 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $16 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.8

Associez les fractions.

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Étape 1.1.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.8.3

Placez ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.8.4

Associez $\frac{1}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (16 - x^{2}) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (16) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.10

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.11

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x)) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.14

Associez les fractions.

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Étape 1.1.14.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.14.2

Associez $- 2$ et $\frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.14.3

Associez $\frac{- 2 x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.15

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.16

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.18

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.19

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.20

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.20.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.20.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.20.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{- x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.21

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.22

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Étape 1.1.23

Multipliez ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.24

Pour écrire ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.25

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.26

Multipliez ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.26.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.26.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.26.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.26.4

Divisez $2$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 16 - x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.27

Simplifiez ${(16 - x^{2})}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 16 - x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.28

Soustrayez $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.29

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 16}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{- 2 x^{2} + 16}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 16}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{- 2 x^{2} + 16}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 16}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$- 2 x^{2} + 16 = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x^{2} = - 16$

Étape 2.3.2

Divisez chaque terme dans $- 2 x^{2} = - 16$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x^{2} = - 16$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 16}{- 2}$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 2.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 16}{- 2}$

Étape 2.3.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 16}{- 2}$

Étape 2.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.3.1

Divisez $- 16$ par $- 2$ .

$x^{2} = 8$

Étape 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{8}$

Étape 2.3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{8}$ .

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Étape 2.3.4.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.3.4.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \pm \sqrt{4 (2)}$

Étape 2.3.4.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Étape 2.3.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm 2 \sqrt{2}$

Étape 2.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2 \sqrt{2}$

Étape 2.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2 \sqrt{2}$

Étape 2.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 4.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 4.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{- 2 x^{2} + 16}{\sqrt{{(- x^{2} + 16)}^{1}}}$

Étape 4.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{- 2 x^{2} + 16}{\sqrt{- x^{2} + 16}}$

Étape 4.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{- 2 x^{2} + 16}{\sqrt{- x^{2} + 16}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{- x^{2} + 16} = 0$

Étape 4.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{- x^{2} + 16}}^{2} = 0^{2}$

Étape 4.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{- x^{2} + 16}$ comme ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.2.1

Simplifiez ${({(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.3.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.3.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(- x^{2} + 16)}^{1} = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2.1.2

Simplifiez

$- x^{2} + 16 = 0^{2}$

Étape 4.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- x^{2} + 16 = 0$

Étape 4.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.3.1

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = - 16$

Étape 4.3.3.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 16$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 16$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

Étape 4.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

Étape 4.3.3.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 16}{- 1}$

Étape 4.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.3.2.3.1

Divisez $- 16$ par $- 1$ .

$x^{2} = 16$

Étape 4.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

Étape 4.3.3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{16}$ .

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Étape 4.3.3.4.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Étape 4.3.3.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 4$

Étape 4.3.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.3.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 4$

Étape 4.3.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 4$

Étape 4.3.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 4, - 4$

Étape 4.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{- x^{2} + 16}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$- x^{2} + 16 < 0$

Étape 4.5

Résolvez $x$ .

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Étape 4.5.1

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x^{2} < - 16$

Étape 4.5.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} < - 16$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} < - 16$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 16}{- 1}$

Étape 4.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 16}{- 1}$

Étape 4.5.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} > \frac{- 16}{- 1}$

Étape 4.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.5.2.3.1

Divisez $- 16$ par $- 1$ .

$x^{2} > 16$

Étape 4.5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{16}$

Étape 4.5.4

Simplifiez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.4.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | > \sqrt{16}$

Étape 4.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.4.2.1

Simplifiez $\sqrt{16}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.4.2.1.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$| x | > \sqrt{4^{2}}$

Étape 4.5.4.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | > | 4 |$

Étape 4.5.4.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $4$ est $4$ .

$| x | > 4$

Étape 4.5.5

Écrivez $| x | > 4$ comme fonction définie par morceaux.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.5.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 4.5.5.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x > 4$

Étape 4.5.5.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 4.5.5.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x > 4$

Étape 4.5.5.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x > 4 & x \geq 0 \\ - x > 4 & x < 0 \end{cases}$

Étape 4.5.6

Déterminez l’intersection de $x > 4$ et $x \geq 0$ .

$x > 4$

Étape 4.5.7

Divisez chaque terme dans $- x > 4$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.5.7.1

Divisez chaque terme dans $- x > 4$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{4}{- 1}$

Étape 4.5.7.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.7.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} < \frac{4}{- 1}$

Étape 4.5.7.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{4}{- 1}$

Étape 4.5.7.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.7.3.1

Divisez $4$ par $- 1$ .

$x < - 4$

Étape 4.5.8

Déterminez l’union des solutions.

$x < - 4$ ou $x > 4$

Étape 4.6

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq - 4, x \geq 4$

$(- \infty, - 4] \cup [4, \infty)$

$x \leq - 4, x \geq 4$

$(- \infty, - 4] \cup [4, \infty)$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, - 2 \sqrt{2}) \cup (- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}) \cup (2 \sqrt{2}, 4) \cup (4, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 4)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 5$ dans l’expression.

$f' (- 5) = \frac{- 2 {(- 5)}^{2} + 16}{{(- {(- 5)}^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$f' (- 5) = \frac{- 2 \cdot 25 + 16}{{(- {(- 5)}^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $25$ .

$f' (- 5) = \frac{- 50 + 16}{{(- {(- 5)}^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2.1.3

Additionnez $- 50$ et $16$ .

$f' (- 5) = \frac{- 34}{{(- {(- 5)}^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$f' (- 5) = \frac{- 34}{{(- 1 \cdot 25 + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$f' (- 5) = \frac{- 34}{{(- 25 + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $- 25$ et $16$ .

$f' (- 5) = \frac{- 34}{{(- 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2.2.3

Réécrivez $- 9$ comme ${(3 i)}^{2}$ .

$f' (- 5) = \frac{- 34}{{({(3 i)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2.2.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 5) = \frac{- 34}{{(3 i)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 6.2.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f' (- 5) = \frac{- 34}{{(3 i)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 6.2.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$f' (- 5) = \frac{- 34}{3 i}$

Étape 6.2.2.6

Simplifiez

$f' (- 5) = \frac{- 34}{3 i}$

Étape 6.2.3

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{- 34}{3 i}$ par le conjugué de $3 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$f' (- 5) = \frac{- 34}{3 i} \cdot \frac{i}{i}$

Étape 6.2.4

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.1

Associez.

$f' (- 5) = \frac{- 34 i}{3 i i}$

Étape 6.2.4.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.2.1

Ajoutez des parenthèses.

$f' (- 5) = \frac{- 34 i}{3 (i i)}$

Étape 6.2.4.2.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$f' (- 5) = \frac{- 34 i}{3 (i i)}$

Étape 6.2.4.2.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$f' (- 5) = \frac{- 34 i}{3 (i i)}$

Étape 6.2.4.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (- 5) = \frac{- 34 i}{3 i^{1 + 1}}$

Étape 6.2.4.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (- 5) = \frac{- 34 i}{3 i^{2}}$

Étape 6.2.4.2.6

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$f' (- 5) = \frac{- 34 i}{3 \cdot - 1}$

Étape 6.2.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f' (- 5) = \frac{- 34 i}{- 3}$

Étape 6.2.6

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$f' (- 5) = \frac{34 i}{3}$

Étape 6.2.7

La réponse finale est $\frac{34 i}{3}$ .

$\frac{34 i}{3}$

Étape 6.3

Sur $x = - 5$ la dérivée est $\frac{34 i}{3}$ . Comme elle contient un nombre imaginaire, la fonction n’existe pas sur $(- \infty, - 4)$ .

La fonction n’est pas réelle sur $(- \infty, - 4)$ car $f' (x)$ est imaginaire

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 4, - 2 \sqrt{2})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3.4142135$ dans l’expression.

$f' (- 3.4142135) = \frac{- 2 {(- 3.4142135)}^{2} + 16}{{(- {(- 3.4142135)}^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Élevez $- 3.4142135$ à la puissance $2$ .

$f' (- 3.4142135) = \frac{- 2 \cdot 11.65685382 + 16}{{(- {(- 3.4142135)}^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $11.65685382$ .

$f' (- 3.4142135) = \frac{- 23.31370764 + 16}{{(- {(- 3.4142135)}^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.2.1.3

Additionnez $- 23.31370764$ et $16$ .

$f' (- 3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{{(- {(- 3.4142135)}^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1.1

Élevez $- 3.4142135$ à la puissance $2$ .

$f' (- 3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{{(- 1 \cdot 11.65685382 + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $11.65685382$ .

$f' (- 3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{{(- 11.65685382 + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $- 11.65685382$ et $16$ .

$f' (- 3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{{4.34314617}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.2.2.3

Réécrivez $4.34314617$ comme ${2.08402163}^{2}$ .

$f' (- 3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{{({2.08402163}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.2.2.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{{2.08402163}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 7.2.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f' (- 3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{{2.08402163}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 7.2.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$f' (- 3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{2.08402163}$

Étape 7.2.2.6

Évaluez l’exposant.

$f' (- 3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{2.08402163}$

Étape 7.2.3

Divisez $- 7.31370764$ par $2.08402163$ .

$f' (- 3.4142135) = - 3.50942021$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $- 3.50942021$ .

$- 3.50942021$

Étape 7.3

Sur $x = - 3.4142135$ la dérivée est $- 3.50942021$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 4, - 2 \sqrt{2})$ .

Diminue sur $(- 4, - 2 \sqrt{2})$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 2.828427, 2 \sqrt{2})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} + 16}{{(- {(0)}^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 + 16}{{(- 0^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$f' (0) = \frac{0 + 16}{{(- 0^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2.1.3

Additionnez $0$ et $16$ .

$f' (0) = \frac{16}{{(- 0^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = \frac{16}{{(- 0 + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f' (0) = \frac{16}{{(0 + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2.2.2

Additionnez $0$ et $16$ .

$f' (0) = \frac{16}{16^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2.2.3

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$f' (0) = \frac{16}{{(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2.2.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (0) = \frac{16}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 8.2.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f' (0) = \frac{16}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 8.2.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$f' (0) = \frac{16}{4}$

Étape 8.2.2.6

Évaluez l’exposant.

$f' (0) = \frac{16}{4}$

Étape 8.2.3

Divisez $16$ par $4$ .

$f' (0) = 4$

Étape 8.2.4

La réponse finale est $4$ .

$4$

Étape 8.3

Sur $x = 0$ la dérivée est $4$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 2.828427, 2 \sqrt{2})$ .

Augmente sur $(- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2})$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(2.828427, 4)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $3.4142135$ dans l’expression.

$f' (3.4142135) = \frac{- 2 {(3.4142135)}^{2} + 16}{{(- {(3.4142135)}^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1.1

Élevez $3.4142135$ à la puissance $2$ .

$f' (3.4142135) = \frac{- 2 \cdot 11.65685382 + 16}{{(- {3.4142135}^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $11.65685382$ .

$f' (3.4142135) = \frac{- 23.31370764 + 16}{{(- {3.4142135}^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2.1.3

Additionnez $- 23.31370764$ et $16$ .

$f' (3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{{(- {3.4142135}^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.1.1

Élevez $3.4142135$ à la puissance $2$ .

$f' (3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{{(- 1 \cdot 11.65685382 + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $11.65685382$ .

$f' (3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{{(- 11.65685382 + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2.2.2

Additionnez $- 11.65685382$ et $16$ .

$f' (3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{{4.34314617}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2.2.3

Réécrivez $4.34314617$ comme ${2.08402163}^{2}$ .

$f' (3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{{({2.08402163}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2.2.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{{2.08402163}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 9.2.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f' (3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{{2.08402163}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 9.2.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$f' (3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{2.08402163}$

Étape 9.2.2.6

Évaluez l’exposant.

$f' (3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{2.08402163}$

Étape 9.2.3

Divisez $- 7.31370764$ par $2.08402163$ .

$f' (3.4142135) = - 3.50942021$

Étape 9.2.4

La réponse finale est $- 3.50942021$ .

$- 3.50942021$

Étape 9.3

Sur $x = 3.4142135$ la dérivée est $- 3.50942021$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(2.828427, 4)$ .

Diminue sur $(2 \sqrt{2}, 4)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 10

Remplacez une valeur de l’intervalle $(4, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f' (5) = \frac{- 2 {(5)}^{2} + 16}{{(- {(5)}^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f' (5) = \frac{- 2 \cdot 25 + 16}{{(- 5^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $25$ .

$f' (5) = \frac{- 50 + 16}{{(- 5^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.2.1.3

Additionnez $- 50$ et $16$ .

$f' (5) = \frac{- 34}{{(- 5^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.2.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f' (5) = \frac{- 34}{{(- 1 \cdot 25 + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$f' (5) = \frac{- 34}{{(- 25 + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.2.2.2

Additionnez $- 25$ et $16$ .

$f' (5) = \frac{- 34}{{(- 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.2.2.3

Réécrivez $- 9$ comme ${(3 i)}^{2}$ .

$f' (5) = \frac{- 34}{{({(3 i)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.2.2.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (5) = \frac{- 34}{{(3 i)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 10.2.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f' (5) = \frac{- 34}{{(3 i)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 10.2.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$f' (5) = \frac{- 34}{3 i}$

Étape 10.2.2.6

Simplifiez

$f' (5) = \frac{- 34}{3 i}$

Étape 10.2.3

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{- 34}{3 i}$ par le conjugué de $3 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$f' (5) = \frac{- 34}{3 i} \cdot \frac{i}{i}$

Étape 10.2.4

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.4.1

Associez.

$f' (5) = \frac{- 34 i}{3 i i}$

Étape 10.2.4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.4.2.1

Ajoutez des parenthèses.

$f' (5) = \frac{- 34 i}{3 (i i)}$

Étape 10.2.4.2.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$f' (5) = \frac{- 34 i}{3 (i i)}$

Étape 10.2.4.2.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$f' (5) = \frac{- 34 i}{3 (i i)}$

Étape 10.2.4.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (5) = \frac{- 34 i}{3 i^{1 + 1}}$

Étape 10.2.4.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (5) = \frac{- 34 i}{3 i^{2}}$

Étape 10.2.4.2.6

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$f' (5) = \frac{- 34 i}{3 \cdot - 1}$

Étape 10.2.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f' (5) = \frac{- 34 i}{- 3}$

Étape 10.2.6

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$f' (5) = \frac{34 i}{3}$

Étape 10.2.7

La réponse finale est $\frac{34 i}{3}$ .

$\frac{34 i}{3}$

Étape 10.3

Sur $x = 5$ la dérivée est $\frac{34 i}{3}$ . Comme elle contient un nombre imaginaire, la fonction n’existe pas sur $(4, \infty)$ .

La fonction n’est pas réelle sur $(4, \infty)$ car $f' (x)$ est imaginaire

Étape 11

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2})$

Diminue sur : $(- 4, - 2 \sqrt{2}), (2 \sqrt{2}, 4)$

Étape 12