Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 19 x + \frac{1}{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $19 x + \frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [19 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (19 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [19 x]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $19$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $19 x$ par rapport à $x$ est $19 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 19 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 19 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $19$ par $1$ .

$f' (x) = 19 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 19 + \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f' (x) = 19 - x^{- 2}$

Étape 1.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 19 - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.1.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 19$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{x^{2}} + 19$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 19$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{1}{x^{2}} + 19 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 19 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $19$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{1}{x^{2}} = - 19$

Étape 2.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{2}, 1$

Étape 2.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{2}$

Étape 2.4

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{x^{2}} = - 19$ par $x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.4.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{x^{2}} = - 19$ par $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - 19 x^{2}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - 19 x^{2}$

Étape 2.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - 19 x^{2}$

Étape 2.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = - 19 x^{2}$

Étape 2.5

Résolvez l’équation.

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’équation comme $- 19 x^{2} = - 1$ .

$- 19 x^{2} = - 1$

Étape 2.5.2

Divisez chaque terme dans $- 19 x^{2} = - 1$ par $- 19$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- 19 x^{2} = - 1$ par $- 19$ .

$\frac{- 19 x^{2}}{- 19} = \frac{- 1}{- 19}$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 19$ .

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Étape 2.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 19 x^{2}}{- 19} = \frac{- 1}{- 19}$

Étape 2.5.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 19}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x^{2} = \frac{1}{19}$

Étape 2.5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{19}}$

Étape 2.5.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{19}}$ .

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Étape 2.5.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{19}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{19}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{19}}$

Étape 2.5.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{19}}$

Étape 2.5.4.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{19}}$ par $\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{19}} \cdot \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$

Étape 2.5.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.5.4.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{19}}$ par $\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19} \sqrt{19}}$

Étape 2.5.4.4.2

Élevez $\sqrt{19}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{1} \sqrt{19}}$

Étape 2.5.4.4.3

Élevez $\sqrt{19}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{1} {\sqrt{19}}^{1}}$

Étape 2.5.4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{1 + 1}}$

Étape 2.5.4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.6

Réécrivez ${\sqrt{19}}^{2}$ comme $19$ .

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Étape 2.5.4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{19}$ comme $19^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{(19^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.5.4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.5.4.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.5.4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.5.4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19^{1}}$

Étape 2.5.4.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19}$

Étape 2.5.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{19}}{19}$

Étape 2.5.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{19}}{19}$

Étape 2.5.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{19}}{19}, - \frac{\sqrt{19}}{19}$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $\frac{\sqrt{19}}{19}, - \frac{\sqrt{19}}{19}$ .

$\frac{\sqrt{19}}{19}, - \frac{\sqrt{19}}{19}$

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19}) \cup (- \frac{\sqrt{19}}{19}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{19}}{19}) \cup (\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.22941573$ dans l’expression.

$f' (- 1.22941573) = - \frac{1}{{(- 1.22941573)}^{2}} + 19$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 1.22941573$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1.22941573) = - \frac{1}{1.51146303} + 19$

Étape 6.2.1.2

Divisez $1$ par $1.51146303$ .

$f' (- 1.22941573) = - 1 \cdot 0.66161062 + 19$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $0.66161062$ .

$f' (- 1.22941573) = - 0.66161062 + 19$

Étape 6.2.2

Additionnez $- 0.66161062$ et $19$ .

$f' (- 1.22941573) = 18.33838937$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $18.33838937$ .

$18.33838937$

Étape 6.3

Sur $x = - 1.22941573$ la dérivée est $18.33838937$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19})$ .

Augmente sur $(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19})$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 0.22941573, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.11470786$ dans l’expression.

$f' (- 0.11470786) = - \frac{1}{{(- 0.11470786)}^{2}} + 19$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $- 0.11470786$ à la puissance $2$ .

$f' (- 0.11470786) = - \frac{1}{0.01315789} + 19$

Étape 7.2.1.2

Divisez $1$ par $0.01315789$ .

$f' (- 0.11470786) = - 1 \cdot 76.00000256 + 19$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $76.00000256$ .

$f' (- 0.11470786) = - 76.00000256 + 19$

Étape 7.2.2

Additionnez $- 76.00000256$ et $19$ .

$f' (- 0.11470786) = - 57.00000256$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 57.00000256$ .

$- 57.00000256$

Étape 7.3

Sur $x = - 0.11470786$ la dérivée est $- 57.00000256$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 0.22941573, 0)$ .

Diminue sur $(- \frac{\sqrt{19}}{19}, 0)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \frac{\sqrt{19}}{19})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $0.11470786$ dans l’expression.

$f' (0.11470786) = - \frac{1}{{(0.11470786)}^{2}} + 19$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $0.11470786$ à la puissance $2$ .

$f' (0.11470786) = - \frac{1}{0.01315789} + 19$

Étape 8.2.1.2

Divisez $1$ par $0.01315789$ .

$f' (0.11470786) = - 1 \cdot 76.00000256 + 19$

Étape 8.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $76.00000256$ .

$f' (0.11470786) = - 76.00000256 + 19$

Étape 8.2.2

Additionnez $- 76.00000256$ et $19$ .

$f' (0.11470786) = - 57.00000256$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $- 57.00000256$ .

$- 57.00000256$

Étape 8.3

Sur $x = 0.11470786$ la dérivée est $- 57.00000256$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, \frac{\sqrt{19}}{19})$ .

Diminue sur $(0, \frac{\sqrt{19}}{19})$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $1.22941573$ dans l’expression.

$f' (1.22941573) = - \frac{1}{{(1.22941573)}^{2}} + 19$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1.1

Élevez $1.22941573$ à la puissance $2$ .

$f' (1.22941573) = - \frac{1}{1.51146303} + 19$

Étape 9.2.1.2

Divisez $1$ par $1.51146303$ .

$f' (1.22941573) = - 1 \cdot 0.66161062 + 19$

Étape 9.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $0.66161062$ .

$f' (1.22941573) = - 0.66161062 + 19$

Étape 9.2.2

Additionnez $- 0.66161062$ et $19$ .

$f' (1.22941573) = 18.33838937$

Étape 9.2.3

La réponse finale est $18.33838937$ .

$18.33838937$

Étape 9.3

Sur $x = 1.22941573$ la dérivée est $18.33838937$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 10

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19}), (\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$

Diminue sur : $(- \frac{\sqrt{19}}{19}, 0), (0, \frac{\sqrt{19}}{19})$

Étape 11