Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 1$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$6 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 8 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x^{2} - 8 x + 2 + 0$

Étape 1.1.5.2

Additionnez $6 x^{2} - 8 x + 2$ et $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 8 x + 2$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x^{2} - 8 x + 2$ .

$6 x^{2} - 8 x + 2$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x^{2} - 8 x + 2 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$6 x^{2} - 8 x + 2 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x^{2} - 8 x + 2$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x^{2}$ .

$2 (3 x^{2}) - 8 x + 2 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 8 x$ .

$2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 (1) = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x)$ .

$2 (3 x^{2} - 4 x) + 2 (1) = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 x^{2} - 4 x) + 2 (1)$ .

$2 (3 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ et dont la somme est $b = - 4$ .

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Étape 2.2.2.1.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 x$ .

$2 (3 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

Étape 2.2.2.1.1.2

Réécrivez $- 4$ comme $- 1$ plus $- 3$

$2 (3 x^{2} + (- 1 - 3) x + 1) = 0$

Étape 2.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (3 x^{2} - 1 x - 3 x + 1) = 0$

Étape 2.2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$2 ((3 x^{2} - 1 x) - 3 x + 1) = 0$

Étape 2.2.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 (x (3 x - 1) - (3 x - 1)) = 0$

Étape 2.2.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 1$ .

$2 ((3 x - 1) (x - 1)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (3 x - 1) (x - 1) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 2.4

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $3 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 1$

Étape 2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Étape 2.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (3 x - 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{3}, 1$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $\frac{1}{3}, 1$ .

$\frac{1}{3}, 1$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, \frac{1}{3})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.\overline{6}$ dans l’expression.

$f' (- 0.\overline{6}) = 6 {(- 0.\overline{6})}^{2} - 8 \cdot - 0.\overline{6} + 2$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 0.\overline{6}$ à la puissance $2$ .

$f' (- 0.\overline{6}) = 6 \cdot 0.44444443 - 8 \cdot - 0.\overline{6} + 2$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $6$ par $0.44444443$ .

$f' (- 0.\overline{6}) = 2.66666661 - 8 \cdot - 0.\overline{6} + 2$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 8$ par $- 0.\overline{6}$ .

$f' (- 0.\overline{6}) = 2.66666661 + 5.33333328 + 2$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 5.2.2.1

Additionnez $2.66666661$ et $5.33333328$ .

$f' (- 0.\overline{6}) = 7.99999989 + 2$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $7.99999989$ et $2$ .

$f' (- 0.\overline{6}) = 9.99999989$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $9.99999989$ .

$9.99999989$

Étape 5.3

Sur $x = - 0.\overline{6}$ la dérivée est $9.99999989$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, \frac{1}{3})$ .

Augmente sur $(- \infty, \frac{1}{3})$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0.\overline{3}, 1)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0.\overline{6}$ dans l’expression.

$f' (0.\overline{6}) = 6 {(0.\overline{6})}^{2} - 8 \cdot 0.\overline{6} + 2$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $0.\overline{6}$ à la puissance $2$ .

$f' (0.\overline{6}) = 6 \cdot 0.44444444 - 8 \cdot 0.\overline{6} + 2$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $6$ par $0.44444444$ .

$f' (0.\overline{6}) = 2.66666669 - 8 \cdot 0.\overline{6} + 2$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 8$ par $0.\overline{6}$ .

$f' (0.\overline{6}) = 2.66666669 - 5.\overline{3} + 2$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $5.\overline{3}$ de $2.66666669$ .

$f' (0.\overline{6}) = - 2.\overline{6} + 2$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $- 2.\overline{6}$ et $2$ .

$f' (0.\overline{6}) = - 0.\overline{6}$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 0.\overline{6}$ .

$- 0.\overline{6}$

Étape 6.3

Sur $x = 0.\overline{6}$ la dérivée est $- 0.\overline{6}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0.\overline{3}, 1)$ .

Diminue sur $(\frac{1}{3}, 1)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = 6 {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 2$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (2) = 6 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 2$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $6$ par $4$ .

$f' (2) = 24 - 8 \cdot 2 + 2$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$f' (2) = 24 - 16 + 2$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 7.2.2.1

Soustrayez $16$ de $24$ .

$f' (2) = 8 + 2$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $8$ et $2$ .

$f' (2) = 10$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $10$ .

$10$

Étape 7.3

Sur $x = 2$ la dérivée est $10$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(1, \infty)$ .

Augmente sur $(1, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, \frac{1}{3}), (1, \infty)$

Diminue sur : $(\frac{1}{3}, 1)$

Étape 9