Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{3} + 9 x^{2} + 12 x + 54$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} + 9 x^{2} + 12 x + 54$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [54]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [54]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [54]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [54]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [54]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [54]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 x^{2} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [54]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $9$ .

$6 x^{2} + 18 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [54]$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 18 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [54]$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x^{2} + 18 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [54]$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $12$ par $1$ .

$6 x^{2} + 18 x + 12 + \frac{d}{d x} [54]$

Étape 1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.5.1

Comme $54$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $54$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x^{2} + 18 x + 12 + 0$

Étape 1.1.5.2

Additionnez $6 x^{2} + 18 x + 12$ et $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 18 x + 12$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x^{2} + 18 x + 12$ .

$6 x^{2} + 18 x + 12$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x^{2} + 18 x + 12 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$6 x^{2} + 18 x + 12 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2} + 18 x + 12$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) + 18 x + 12 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $6$ à partir de $18 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (3 x) + 12 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$6 x^{2} + 6 (3 x) + 6 \cdot 2 = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2} + 6 (3 x)$ .

$6 (x^{2} + 3 x) + 6 \cdot 2 = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $6$ à partir de $6 (x^{2} + 3 x) + 6 \cdot 2$ .

$6 (x^{2} + 3 x + 2) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x^{2} + 3 x + 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $3$ .

$1, 2$

Étape 2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$6 ((x + 1) (x + 2)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$6 (x + 1) (x + 2) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.5

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $6 (x + 1) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = - 1, - 2$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $- 1, - 2$ .

$- 1, - 2$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f' (- 3) = 6 {(- 3)}^{2} + 18 (- 3) + 12$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f' (- 3) = 6 \cdot 9 + 18 (- 3) + 12$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $6$ par $9$ .

$f' (- 3) = 54 + 18 (- 3) + 12$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $18$ par $- 3$ .

$f' (- 3) = 54 - 54 + 12$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.2.1

Soustrayez $54$ de $54$ .

$f' (- 3) = 0 + 12$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $0$ et $12$ .

$f' (- 3) = 12$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $12$ .

$12$

Étape 5.3

Sur $x = - 3$ la dérivée est $12$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - 2)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 2)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 2, - 1)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{3}{2}$ dans l’expression.

$f' (- \frac{3}{2}) = 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 18 (- \frac{3}{2}) + 12$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 6.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) + 18 (- \frac{3}{2}) + 12$

Étape 6.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 6 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 18 (- \frac{3}{2}) + 12$

Étape 6.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 6 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 18 (- \frac{3}{2}) + 12$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 6 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 18 (- \frac{3}{2}) + 12$

Étape 6.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 6 (\frac{9}{2^{2}}) + 18 (- \frac{3}{2}) + 12$

Étape 6.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 6 (\frac{9}{4}) + 18 (- \frac{3}{2}) + 12$

Étape 6.2.1.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 2 (3) (\frac{9}{4}) + 18 (- \frac{3}{2}) + 12$

Étape 6.2.1.6.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{9}{2 \cdot 2})) + 18 (- \frac{3}{2}) + 12$

Étape 6.2.1.6.3

Annulez le facteur commun.

$f' (- \frac{3}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{9}{2 \cdot 2})) + 18 (- \frac{3}{2}) + 12$

Étape 6.2.1.6.4

Réécrivez l’expression.

$f' (- \frac{3}{2}) = 3 (\frac{9}{2}) + 18 (- \frac{3}{2}) + 12$

Étape 6.2.1.7

Associez $3$ et $\frac{9}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{3 \cdot 9}{2} + 18 (- \frac{3}{2}) + 12$

Étape 6.2.1.8

Multipliez $3$ par $9$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 18 (- \frac{3}{2}) + 12$

Étape 6.2.1.9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.9.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{2}$ dans le numérateur.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 18 (\frac{- 3}{2}) + 12$

Étape 6.2.1.9.2

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 2 (9) (\frac{- 3}{2}) + 12$

Étape 6.2.1.9.3

Annulez le facteur commun.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 2 \cdot (9 (\frac{- 3}{2})) + 12$

Étape 6.2.1.9.4

Réécrivez l’expression.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 9 \cdot - 3 + 12$

Étape 6.2.1.10

Multipliez $9$ par $- 3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 27 + 12$

Étape 6.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 6.2.2.1

Écrivez $- 27$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 27}{1} + 12$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $\frac{- 27}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 27}{1} \cdot \frac{2}{2} + 12$

Étape 6.2.2.3

Multipliez $\frac{- 27}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + 12$

Étape 6.2.2.4

Écrivez $12$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{12}{1}$

Étape 6.2.2.5

Multipliez $\frac{12}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{12}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 6.2.2.6

Multipliez $\frac{12}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{12 \cdot 2}{2}$

Étape 6.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{27 - 27 \cdot 2 + 12 \cdot 2}{2}$

Étape 6.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.4.1

Multipliez $- 27$ par $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{27 - 54 + 12 \cdot 2}{2}$

Étape 6.2.4.2

Multipliez $12$ par $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{27 - 54 + 24}{2}$

Étape 6.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.5.1

Soustrayez $54$ de $27$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 24}{2}$

Étape 6.2.5.2

Additionnez $- 27$ et $24$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 3}{2}$

Étape 6.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{3}{2}$

Étape 6.2.6

La réponse finale est $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2}$

Étape 6.3

Sur $x = - \frac{3}{2}$ la dérivée est $- \frac{3}{2}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 2, - 1)$ .

Diminue sur $(- 2, - 1)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 1, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = 6 {(0)}^{2} + 18 (0) + 12$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = 6 \cdot 0 + 18 (0) + 12$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $6$ par $0$ .

$f' (0) = 0 + 18 (0) + 12$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $18$ par $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 12$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 7.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f' (0) = 0 + 12$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $0$ et $12$ .

$f' (0) = 12$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $12$ .

$12$

Étape 7.3

Sur $x = 0$ la dérivée est $12$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 1, \infty)$ .

Augmente sur $(- 1, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - 2), (- 1, \infty)$

Diminue sur : $(- 2, - 1)$

Étape 9