Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 3$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 2 x^{2} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x + 0$

Étape 1.1.3.2

Additionnez $4 x^{3} - 4 x$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} - 4 x$ .

$4 x^{3} - 4 x$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} - 4 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} - 4 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3} - 4 x$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 4 x = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $4 x$ à partir de $- 4 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 1) = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 1)$ .

$4 x (x^{2} - 1) = 0$

Étape 2.2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez.

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Étape 2.2.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$4 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Étape 2.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.6

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 x (x + 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, - 1, 1$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0, - 1, 1$ .

$0, - 1, 1$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 1)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = 4 {(- 2)}^{3} - 4 \cdot - 2$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f' (- 2) = 4 \cdot - 8 - 4 \cdot - 2$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 8$ .

$f' (- 2) = - 32 - 4 \cdot - 2$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$f' (- 2) = - 32 + 8$

Étape 5.2.2

Additionnez $- 32$ et $8$ .

$f' (- 2) = - 24$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 24$ .

$- 24$

Étape 5.3

Sur $x = - 2$ la dérivée est $- 24$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, - 1)$ .

Diminue sur $(- \infty, - 1)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 1, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{1}{2}$ dans l’expression.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 4 (- \frac{1}{2})$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 6.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 4 (- \frac{1}{2})$

Étape 6.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) - 4 (- \frac{1}{2})$

Étape 6.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 4 (- \frac{1}{2})$

Étape 6.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (- \frac{1}{2^{3}}) - 4 (- \frac{1}{2})$

Étape 6.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (- \frac{1}{8}) - 4 (- \frac{1}{2})$

Étape 6.2.1.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.2.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{8}$ dans le numérateur.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (\frac{- 1}{8}) - 4 (- \frac{1}{2})$

Étape 6.2.1.5.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (\frac{- 1}{4 (2)}) - 4 (- \frac{1}{2})$

Étape 6.2.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (\frac{- 1}{4 \cdot 2}) - 4 (- \frac{1}{2})$

Étape 6.2.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1}{2} - 4 (- \frac{1}{2})$

Étape 6.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - 4 (- \frac{1}{2})$

Étape 6.2.1.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - 4 (\frac{- 1}{2})$

Étape 6.2.1.7.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + 2 (- 2) (\frac{- 1}{2})$

Étape 6.2.1.7.3

Annulez le facteur commun.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + 2 \cdot (- 2 (\frac{- 1}{2}))$

Étape 6.2.1.7.4

Réécrivez l’expression.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - 2 \cdot - 1$

Étape 6.2.1.8

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + 2$

Étape 6.2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 6.2.3

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Étape 6.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}$

Étape 6.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 + 4}{2}$

Étape 6.2.5.2

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$

Étape 6.2.6

La réponse finale est $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2}$

Étape 6.3

Sur $x = - \frac{1}{2}$ la dérivée est $\frac{3}{2}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 1, 0)$ .

Augmente sur $(- 1, 0)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 1)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{2}$ dans l’expression.

$f' (\frac{1}{2}) = 4 {(\frac{1}{2})}^{3} - 4 (\frac{1}{2})$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1^{3}}{2^{3}}) - 4 (\frac{1}{2})$

Étape 7.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{2^{3}}) - 4 (\frac{1}{2})$

Étape 7.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{8}) - 4 (\frac{1}{2})$

Étape 7.2.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.2.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{4 (2)}) - 4 (\frac{1}{2})$

Étape 7.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{4 \cdot 2}) - 4 (\frac{1}{2})$

Étape 7.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 4 (\frac{1}{2})$

Étape 7.2.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + 2 (- 2) (\frac{1}{2})$

Étape 7.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + 2 \cdot (- 2 (\frac{1}{2}))$

Étape 7.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 2$

Étape 7.2.2

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 7.2.3

Associez $- 2$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Étape 7.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 2 \cdot 2}{2}$

Étape 7.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.5.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 4}{2}$

Étape 7.2.5.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 3}{2}$

Étape 7.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{2}$

Étape 7.2.7

La réponse finale est $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2}$

Étape 7.3

Sur $x = \frac{1}{2}$ la dérivée est $- \frac{3}{2}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, 1)$ .

Diminue sur $(0, 1)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} - 4 \cdot 2$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8 - 4 \cdot 2$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $4$ par $8$ .

$f' (2) = 32 - 4 \cdot 2$

Étape 8.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$f' (2) = 32 - 8$

Étape 8.2.2

Soustrayez $8$ de $32$ .

$f' (2) = 24$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $24$ .

$24$

Étape 8.3

Sur $x = 2$ la dérivée est $24$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(1, \infty)$ .

Augmente sur $(1, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 9

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- 1, 0), (1, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, - 1), (0, 1)$

Étape 10