Calcul infinitésimal Exemples

\int_{- \infty}^{\infty} x e^{1 - x^{2}} d x

$\int_{- \infty}^{\infty} x e^{1 - x^{2}} d x$

Étape 1

Divisez l’intégrale sur

0

$0$ et écrivez sous la forme d’une somme de limites.

lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} x e^{1 - x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} x e^{1 - x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Étape 2

Laissez

u = 1 - x^{2}

$u = 1 - x^{2}$ . Alors

d u = - 2 x d x

$d u = - 2 x d x$ , donc

- \frac{1}{2} d u = x d x

$- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec

u

$u$ et

d

$d$

u

$u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Laissez

u = 1 - x^{2}

$u = 1 - x^{2}$ . Déterminez

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez

1 - x^{2}

$1 - x^{2}$ .

\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de

1 - x^{2}

$1 - x^{2}$ par rapport à

x

$x$ est

\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.1.2.2

Comme

1

$1$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

1

$1$ par rapport à

x

$x$ est

0

$0$ .

0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.1.3

Évaluez

\frac{d}{d x} [- x^{2}]

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1

Comme

- 1

$- 1$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

- x^{2}

$- x^{2}$ par rapport à

x

$x$ est

- \frac{d}{d x} [x^{2}]

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 2

$n = 2$ .

0 - (2 x)

$0 - (2 x)$

Étape 2.1.3.3

Multipliez

2

$2$ par

- 1

$- 1$ .

0 - 2 x

$0 - 2 x$

0 - 2 x

$0 - 2 x$

Étape 2.1.4

Soustrayez

2 x

$2 x$ de

0

$0$ .

- 2 x

$- 2 x$

- 2 x

$- 2 x$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour

x

$x$ dans

u = 1 - x^{2}

$u = 1 - x^{2}$ .

u_{lower} = 1 - t^{2}

$u_{lower} = 1 - t^{2}$

Étape 2.3

Remplacez la limite supérieure pour

x

$x$ dans

u = 1 - x^{2}

$u = 1 - x^{2}$ .

u_{upper} = 1 - 0^{2}

$u_{upper} = 1 - 0^{2}$

Étape 2.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1.1

L’élévation de

0

$0$ à toute puissance positive produit

0

$0$ .

u_{upper} = 1 - 0

$u_{upper} = 1 - 0$

Étape 2.4.1.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

0

$0$ .

u_{upper} = 1 + 0

$u_{upper} = 1 + 0$

u_{upper} = 1 + 0

$u_{upper} = 1 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez

1

$1$ et

0

$0$ .

u_{upper} = 1

$u_{upper} = 1$

u_{upper} = 1

$u_{upper} = 1$

Étape 2.5

Les valeurs déterminées pour

u_{lower}

$u_{lower}$ et

u_{upper}

$u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

u_{lower} = 1 - t^{2}

$u_{lower} = 1 - t^{2}$

u_{upper} = 1

$u_{upper} = 1$

Étape 2.6

Réécrivez le problème en utilisant

u

$u$ ,

d u

$d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x

$lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x

$lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Étape 3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x

$lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Étape 3.2

Associez

e^{u}

$e^{u}$ et

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} - \frac{e^{u}}{2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x

$lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} - \frac{e^{u}}{2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} - \frac{e^{u}}{2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x

$lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} - \frac{e^{u}}{2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Étape 4

Comme

- 1

$- 1$ est constant par rapport à

u

$u$ , placez

- 1

$- 1$ en dehors de l’intégrale.

lim_{t \to - \infty} - \int_{1 - t^{2}}^{1} \frac{e^{u}}{2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x

$lim_{t \to - \infty} - \int_{1 - t^{2}}^{1} \frac{e^{u}}{2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Étape 5

Comme

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ est constant par rapport à

u

$u$ , placez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

lim_{t \to - \infty} - (\frac{1}{2} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} d u) + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x

$lim_{t \to - \infty} - (\frac{1}{2} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} d u) + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Étape 6

L’intégrale de

e^{u}

$e^{u}$ par rapport à

u

$u$ est

e^{u}

$e^{u}$ .

lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} e^{u}]_{1 - t^{2}}^{1} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} e^{u}]_{1 - t^{2}}^{1} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Étape 7

Associez

e^{u}]_{1 - t^{2}}^{1}

$e^{u}]_{1 - t^{2}}^{1}$ et

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

lim_{t \to - \infty} - \frac{e^{u}]_{1 - t^{2}}^{1}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e^{u}]_{1 - t^{2}}^{1}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Étape 8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.1

Évaluez

e^{u}

$e^{u}$ sur

1

$1$ et sur

1 - t^{2}

$1 - t^{2}$ .

lim_{t \to - \infty} - \frac{(e^{1}) - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x

$lim_{t \to - \infty} - \frac{(e^{1}) - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Étape 8.2

Simplifiez

lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Étape 9

Laissez

u = 1 - x^{2}

$u = 1 - x^{2}$ . Alors

d u = - 2 x d x

$d u = - 2 x d x$ , donc

- \frac{1}{2} d u = x d x

$- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec

u

$u$ et

d

$d$

u

$u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Laissez

u = 1 - x^{2}

$u = 1 - x^{2}$ . Déterminez

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Différenciez

1 - x^{2}

$1 - x^{2}$ .

\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Étape 9.1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de

1 - x^{2}

$1 - x^{2}$ par rapport à

x

$x$ est

\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 9.1.2.2

Comme

1

$1$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

1

$1$ par rapport à

x

$x$ est

0

$0$ .

0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 9.1.3

Évaluez

\frac{d}{d x} [- x^{2}]

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.3.1

Comme

- 1

$- 1$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

- x^{2}

$- x^{2}$ par rapport à

x

$x$ est

- \frac{d}{d x} [x^{2}]

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 9.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 2

$n = 2$ .

0 - (2 x)

$0 - (2 x)$

Étape 9.1.3.3

Multipliez

2

$2$ par

- 1

$- 1$ .

0 - 2 x

$0 - 2 x$

0 - 2 x

$0 - 2 x$

Étape 9.1.4

Soustrayez

2 x

$2 x$ de

0

$0$ .

- 2 x

$- 2 x$

- 2 x

$- 2 x$

Étape 9.2

Remplacez la limite inférieure pour

x

$x$ dans

u = 1 - x^{2}

$u = 1 - x^{2}$ .

u_{lower} = 1 - 0^{2}

$u_{lower} = 1 - 0^{2}$

Étape 9.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1.1

L’élévation de

0

$0$ à toute puissance positive produit

0

$0$ .

u_{lower} = 1 - 0

$u_{lower} = 1 - 0$

Étape 9.3.1.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

0

$0$ .

u_{lower} = 1 + 0

$u_{lower} = 1 + 0$

u_{lower} = 1 + 0

$u_{lower} = 1 + 0$

Étape 9.3.2

Additionnez

1

$1$ et

0

$0$ .

u_{lower} = 1

$u_{lower} = 1$

u_{lower} = 1

$u_{lower} = 1$

Étape 9.4

Remplacez la limite supérieure pour

x

$x$ dans

u = 1 - x^{2}

$u = 1 - x^{2}$ .

u_{upper} = 1 - t^{2}

$u_{upper} = 1 - t^{2}$

Étape 9.5

Les valeurs déterminées pour

u_{lower}

$u_{lower}$ et

u_{upper}

$u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

u_{lower} = 1

$u_{lower} = 1$

u_{upper} = 1 - t^{2}

$u_{upper} = 1 - t^{2}$

Étape 9.6

Réécrivez le problème en utilisant

u

$u$ ,

d u

$d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 10

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Placez le signe moins devant la fraction.

lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Étape 10.2

Associez

e^{u}

$e^{u}$ et

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} - \frac{e^{u}}{2} d u

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} - \frac{e^{u}}{2} d u$

lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} - \frac{e^{u}}{2} d u

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 11

Comme

- 1

$- 1$ est constant par rapport à

u

$u$ , placez

- 1

$- 1$ en dehors de l’intégrale.

lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \int_{1}^{1 - t^{2}} \frac{e^{u}}{2} d u

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \int_{1}^{1 - t^{2}} \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 12

Comme

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ est constant par rapport à

u

$u$ , placez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} d u)

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} d u)$

Étape 13

L’intégrale de

e^{u}

$e^{u}$ par rapport à

u

$u$ est

e^{u}

$e^{u}$ .

lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} e^{u}]_{1}^{1 - t^{2}}

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} e^{u}]_{1}^{1 - t^{2}}$

Étape 14

Associez

e^{u}]_{1}^{1 - t^{2}}

$e^{u}]_{1}^{1 - t^{2}}$ et

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{u}]_{1}^{1 - t^{2}}}{2}

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{u}]_{1}^{1 - t^{2}}}{2}$

Étape 15

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Évaluez

e^{u}

$e^{u}$ sur

1 - t^{2}

$1 - t^{2}$ et sur

1

$1$ .

lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{(e^{1 - t^{2}}) - e^{1}}{2}

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{(e^{1 - t^{2}}) - e^{1}}{2}$

Étape 15.2

Simplifiez

lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Étape 16

Évaluez les limites.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1.1

Placez le terme

- 1

$- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à

t

$t$ .

- lim_{t \to - \infty} \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}

$- lim_{t \to - \infty} \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Étape 16.1.2

Placez le terme

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à

t

$t$ .

- \frac{1}{2} lim_{t \to - \infty} e - e^{1 - t^{2}} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}

$- \frac{1}{2} lim_{t \to - \infty} e - e^{1 - t^{2}} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Étape 16.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque

t

$t$ approche de

- \infty

$- \infty$ .

- \frac{1}{2} (lim_{t \to - \infty} e - lim_{t \to - \infty} e^{1 - t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to - \infty} e - lim_{t \to - \infty} e^{1 - t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Étape 16.1.4

Évaluez la limite de

e

$e$ qui est constante lorsque

t

$t$ approche de

- \infty

$- \infty$ .

- \frac{1}{2} (e - lim_{t \to - \infty} e^{1 - t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}

$- \frac{1}{2} (e - lim_{t \to - \infty} e^{1 - t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

- \frac{1}{2} (e - lim_{t \to - \infty} e^{1 - t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}

$- \frac{1}{2} (e - lim_{t \to - \infty} e^{1 - t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Étape 16.2

Comme l’exposant

1 - t^{2}

$1 - t^{2}$ approche de

- \infty

$- \infty$ , la quantité

e^{1 - t^{2}}

$e^{1 - t^{2}}$ approche de

0

$0$ .

- \frac{1}{2} (e - 0) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}

$- \frac{1}{2} (e - 0) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Étape 16.3

Évaluez la limite.

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Étape 16.3.1

Placez le terme

- 1

$- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à

t

$t$ .

- \frac{1}{2} (e - 0) - lim_{t \to \infty} \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}

$- \frac{1}{2} (e - 0) - lim_{t \to \infty} \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Étape 16.3.2

Placez le terme

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à

t

$t$ .

- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{1 - t^{2}} - e

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{1 - t^{2}} - e$

Étape 16.3.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque

t

$t$ approche de

\infty

$\infty$ .

- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} e^{1 - t^{2}} - lim_{t \to \infty} e)

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} e^{1 - t^{2}} - lim_{t \to \infty} e)$

- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} e^{1 - t^{2}} - lim_{t \to \infty} e)

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} e^{1 - t^{2}} - lim_{t \to \infty} e)$

Étape 16.4

Comme l’exposant

1 - t^{2}

$1 - t^{2}$ approche de

- \infty

$- \infty$ , la quantité

e^{1 - t^{2}}

$e^{1 - t^{2}}$ approche de

0

$0$ .

- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} e)

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} e)$

Étape 16.5

Évaluez la limite.

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Étape 16.5.1

Évaluez la limite de

e

$e$ qui est constante lorsque

t

$t$ approche de

\infty

$\infty$ .

- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (0 - e)

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (0 - e)$

Étape 16.5.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 16.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.5.2.1.1

Soustrayez

0

$0$ de

e

$e$ .

- \frac{1}{2} e - \frac{1}{2} (0 - e)

$- \frac{1}{2} e - \frac{1}{2} (0 - e)$

Étape 16.5.2.1.2

Associez

e

$e$ et

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

- \frac{e}{2} - \frac{1}{2} (0 - e)

$- \frac{e}{2} - \frac{1}{2} (0 - e)$

Étape 16.5.2.1.3

Soustrayez

e

$e$ de

0

$0$ .

- \frac{e}{2} - \frac{1}{2} (- e)

$- \frac{e}{2} - \frac{1}{2} (- e)$

Étape 16.5.2.1.4

Multipliez

- \frac{1}{2} (- e)

$- \frac{1}{2} (- e)$ .

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Étape 16.5.2.1.4.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 1

$- 1$ .

- \frac{e}{2} + 1 (\frac{1}{2}) e

$- \frac{e}{2} + 1 (\frac{1}{2}) e$

Étape 16.5.2.1.4.2

Multipliez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ par

1

$1$ .

- \frac{e}{2} + \frac{1}{2} e

$- \frac{e}{2} + \frac{1}{2} e$

Étape 16.5.2.1.4.3

Associez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ et

e

$e$ .

- \frac{e}{2} + \frac{e}{2}

$- \frac{e}{2} + \frac{e}{2}$

- \frac{e}{2} + \frac{e}{2}

$- \frac{e}{2} + \frac{e}{2}$

- \frac{e}{2} + \frac{e}{2}

$- \frac{e}{2} + \frac{e}{2}$

Étape 16.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

\frac{- e + e}{2}

$\frac{- e + e}{2}$

Étape 16.5.2.3

Additionnez

- e

$- e$ et

e

$e$ .

\frac{0}{2}

$\frac{0}{2}$

Étape 16.5.2.4

Divisez

0

$0$ par

2

$2$ .

0

$0$

0

$0$

0

$0$

0

$0$