Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- \infty}^{\infty} x e^{1 - x^{2}} d x$

Étape 1

Divisez l’intégrale sur $0$ et écrivez sous la forme d’une somme de limites.

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} x e^{1 - x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Étape 2

Laissez $u = 1 - x^{2}$ . Alors $d u = - 2 x d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 1 - x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 2 x$

Étape 2.1.4

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 1 - x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - t^{2}$

Étape 2.3

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 1 - x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - 0^{2}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{upper} = 1 - 0$

Étape 2.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$u_{upper} = 1 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$u_{upper} = 1$

Étape 2.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1 - t^{2}$

$u_{upper} = 1$

Étape 2.6

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Étape 3.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} - \frac{e^{u}}{2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$lim_{t \to - \infty} - \int_{1 - t^{2}}^{1} \frac{e^{u}}{2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$lim_{t \to - \infty} - (\frac{1}{2} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} d u) + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Étape 6

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} e^{u}]_{1 - t^{2}}^{1} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Étape 7

Associez $e^{u}]_{1 - t^{2}}^{1}$ et $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e^{u}]_{1 - t^{2}}^{1}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Étape 8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.1

Évaluez $e^{u}$ sur $1$ et sur $1 - t^{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{(e^{1}) - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Étape 8.2

Simplifiez

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Étape 9

Laissez $u = 1 - x^{2}$ . Alors $d u = - 2 x d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 9.1

Laissez $u = 1 - x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 9.1.1

Différenciez $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Étape 9.1.2

Différenciez.

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Étape 9.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 9.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 9.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 9.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 9.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Étape 9.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 2 x$

Étape 9.1.4

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Étape 9.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 1 - x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - 0^{2}$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Étape 9.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Étape 9.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 9.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 1 - x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - t^{2}$

Étape 9.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1 - t^{2}$

Étape 9.6

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Étape 10.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \int_{1}^{1 - t^{2}} \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 12

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} d u)$

Étape 13

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} e^{u}]_{1}^{1 - t^{2}}$

Étape 14

Associez $e^{u}]_{1}^{1 - t^{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{u}]_{1}^{1 - t^{2}}}{2}$

Étape 15

Remplacez et simplifiez.

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Étape 15.1

Évaluez $e^{u}$ sur $1 - t^{2}$ et sur $1$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{(e^{1 - t^{2}}) - e^{1}}{2}$

Étape 15.2

Simplifiez

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Étape 16

Évaluez les limites.

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Étape 16.1

Évaluez la limite.

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Étape 16.1.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

$- lim_{t \to - \infty} \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Étape 16.1.2

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

$- \frac{1}{2} lim_{t \to - \infty} e - e^{1 - t^{2}} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Étape 16.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $- \infty$ .

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to - \infty} e - lim_{t \to - \infty} e^{1 - t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Étape 16.1.4

Évaluez la limite de $e$ qui est constante lorsque $t$ approche de $- \infty$ .

$- \frac{1}{2} (e - lim_{t \to - \infty} e^{1 - t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Étape 16.2

Comme l’exposant $1 - t^{2}$ approche de $- \infty$ , la quantité $e^{1 - t^{2}}$ approche de $0$ .

$- \frac{1}{2} (e - 0) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Étape 16.3

Évaluez la limite.

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Étape 16.3.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

$- \frac{1}{2} (e - 0) - lim_{t \to \infty} \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Étape 16.3.2

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{1 - t^{2}} - e$

Étape 16.3.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} e^{1 - t^{2}} - lim_{t \to \infty} e)$

Étape 16.4

Comme l’exposant $1 - t^{2}$ approche de $- \infty$ , la quantité $e^{1 - t^{2}}$ approche de $0$ .

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} e)$

Étape 16.5

Évaluez la limite.

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Étape 16.5.1

Évaluez la limite de $e$ qui est constante lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (0 - e)$

Étape 16.5.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 16.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.5.2.1.1

Soustrayez $0$ de $e$ .

$- \frac{1}{2} e - \frac{1}{2} (0 - e)$

Étape 16.5.2.1.2

Associez $e$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{e}{2} - \frac{1}{2} (0 - e)$

Étape 16.5.2.1.3

Soustrayez $e$ de $0$ .

$- \frac{e}{2} - \frac{1}{2} (- e)$

Étape 16.5.2.1.4

Multipliez $- \frac{1}{2} (- e)$ .

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Étape 16.5.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{e}{2} + 1 (\frac{1}{2}) e$

Étape 16.5.2.1.4.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$- \frac{e}{2} + \frac{1}{2} e$

Étape 16.5.2.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $e$ .

$- \frac{e}{2} + \frac{e}{2}$

Étape 16.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- e + e}{2}$

Étape 16.5.2.3

Additionnez $- e$ et $e$ .

$\frac{0}{2}$

Étape 16.5.2.4

Divisez $0$ par $2$ .

$0$