Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$3 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 x$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 18 x + 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 18 x + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 18]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $24$ par $1$ .

$3 x^{2} - 18 x + 24 + \frac{d}{d x} [- 18]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 18$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} - 18 x + 24 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $3 x^{2} - 18 x + 24$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + 24$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 18 x + 24$ .

$3 x^{2} - 18 x + 24$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 18 x + 24 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 18 x + 24 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} - 18 x + 24$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 18 x + 24 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 18 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 6 x) + 24 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $3$ à partir de $24$ .

$3 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 8 = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 3 (- 6 x)$ .

$3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 8 = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 8$ .

$3 (x^{2} - 6 x + 8) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x^{2} - 6 x + 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $8$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 4, - 2$

Étape 2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$3 ((x - 4) (x - 2)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 (x - 4) (x - 2) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 2.5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 (x - 4) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 4, 2$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $4, 2$ .

$4, 2$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 2)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = 3 {(1)}^{2} - 18 \cdot 1 + 24$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 3 \cdot 1 - 18 \cdot 1 + 24$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (1) = 3 - 18 \cdot 1 + 24$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 18$ par $1$ .

$f' (1) = 3 - 18 + 24$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.2.1

Soustrayez $18$ de $3$ .

$f' (1) = - 15 + 24$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $- 15$ et $24$ .

$f' (1) = 9$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $9$ .

$9$

Étape 5.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $9$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, 2)$ .

Augmente sur $(- \infty, 2)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(2, 4)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f' (3) = 3 {(3)}^{2} - 18 \cdot 3 + 24$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $3$ par ${(3)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1.1.1

Multipliez $3$ par ${(3)}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.1.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$f' (3) = 3 {(3)}^{2} - 18 \cdot 3 + 24$

Étape 6.2.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (3) = 3^{1 + 2} - 18 \cdot 3 + 24$

Étape 6.2.1.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (3) = 3^{3} - 18 \cdot 3 + 24$

Étape 6.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f' (3) = 27 - 18 \cdot 3 + 24$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 18$ par $3$ .

$f' (3) = 27 - 54 + 24$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $54$ de $27$ .

$f' (3) = - 27 + 24$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $- 27$ et $24$ .

$f' (3) = - 3$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 3$ .

$- 3$

Étape 6.3

Sur $x = 3$ la dérivée est $- 3$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(2, 4)$ .

Diminue sur $(2, 4)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(4, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f' (5) = 3 {(5)}^{2} - 18 \cdot 5 + 24$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f' (5) = 3 \cdot 25 - 18 \cdot 5 + 24$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $3$ par $25$ .

$f' (5) = 75 - 18 \cdot 5 + 24$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 18$ par $5$ .

$f' (5) = 75 - 90 + 24$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 7.2.2.1

Soustrayez $90$ de $75$ .

$f' (5) = - 15 + 24$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $- 15$ et $24$ .

$f' (5) = 9$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $9$ .

$9$

Étape 7.3

Sur $x = 5$ la dérivée est $9$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(4, \infty)$ .

Augmente sur $(4, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, 2), (4, \infty)$

Diminue sur : $(2, 4)$

Étape 9