Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 24 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 6 x^{2} - 24 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24 x$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 12 x - 24 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 12 x - 24 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x - 24$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 12 x - 24$ .

$3 x^{2} - 12 x - 24$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 12 x - 24 = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 12 x - 24 = 0$

Étape 2.2

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} - 12 x - 24$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 12 x - 24 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 12 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) - 24 = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $3$ à partir de $- 24$ .

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot - 8 = 0$

Étape 2.2.4

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ .

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 8 = 0$

Étape 2.2.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 8$ .

$3 (x^{2} - 4 x - 8) = 0$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $3 (x^{2} - 4 x - 8) = 0$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $3 (x^{2} - 4 x - 8) = 0$ par $3$ .

$\frac{3 (x^{2} - 4 x - 8)}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (x^{2} - 4 x - 8)}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x^{2} - 4 x - 8$ par $1$ .

$x^{2} - 4 x - 8 = \frac{0}{3}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

$x^{2} - 4 x - 8 = 0$

Étape 2.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.5

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 4$ et $c = - 8$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 8)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.1.3

Additionnez $16$ et $32$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.1.4

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.6.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 \sqrt{3}$

Étape 2.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.1.3

Additionnez $16$ et $32$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.1.4

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.7.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 \sqrt{3}$

Étape 2.7.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 2 + 2 \sqrt{3}$

Étape 2.8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.8.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.8.1.3

Additionnez $16$ et $32$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.8.1.4

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.8.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.8.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.8.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.8.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 \sqrt{3}$

Étape 2.8.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 2 - 2 \sqrt{3}$

Étape 2.9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 2 + 2 \sqrt{3}, 2 - 2 \sqrt{3}$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $2 + 2 \sqrt{3}, 2 - 2 \sqrt{3}$ .

$2 + 2 \sqrt{3}, 2 - 2 \sqrt{3}$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 2 - 2 \sqrt{3}) \cup (2 - 2 \sqrt{3}, 2 + 2 \sqrt{3}) \cup (2 + 2 \sqrt{3}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 2 - 2 \sqrt{3})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2.4641017$ dans l’expression.

$f' (- 2.4641017) = 3 {(- 2.4641017)}^{2} - 12 \cdot - 2.4641017 - 24$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Élevez $- 2.4641017$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2.4641017) = 3 \cdot 6.07179718 - 12 \cdot - 2.4641017 - 24$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $3$ par $6.07179718$ .

$f' (- 2.4641017) = 18.21539156 - 12 \cdot - 2.4641017 - 24$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 12$ par $- 2.4641017$ .

$f' (- 2.4641017) = 18.21539156 + 29.5692204 - 24$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Additionnez $18.21539156$ et $29.5692204$ .

$f' (- 2.4641017) = 47.78461196 - 24$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $24$ de $47.78461196$ .

$f' (- 2.4641017) = 23.78461196$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $23.78461196$ .

$23.78461196$

Étape 5.3

Sur $x = - 2.4641017$ la dérivée est $23.78461196$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, 2 - 2 \sqrt{3})$ .

Augmente sur $(- \infty, 2 - 2 \sqrt{3})$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 1.4641017, 2 + 2 \sqrt{3})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $2.00000015$ dans l’expression.

$f' (2.00000015) = 3 {(2.00000015)}^{2} - 12 \cdot 2.00000015 - 24$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Élevez $2.00000015$ à la puissance $2$ .

$f' (2.00000015) = 3 \cdot 4.0000006 - 12 \cdot 2.00000015 - 24$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $3$ par $4.0000006$ .

$f' (2.00000015) = 12.0000018 - 12 \cdot 2.00000015 - 24$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 12$ par $2.00000015$ .

$f' (2.00000015) = 12.0000018 - 24.0000018 - 24$

Étape 6.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Soustrayez $24.0000018$ de $12.0000018$ .

$f' (2.00000015) = - 12 - 24$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $24$ de $- 12$ .

$f' (2.00000015) = - 36$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 36$ .

$- 36$

Étape 6.3

Sur $x = 2.00000015$ la dérivée est $- 36$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 1.4641017, 2 + 2 \sqrt{3})$ .

Diminue sur $(2 - 2 \sqrt{3}, 2 + 2 \sqrt{3})$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(2 + 2 \sqrt{3}, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $6.464102$ dans l’expression.

$f' (6.464102) = 3 {(6.464102)}^{2} - 12 \cdot 6.464102 - 24$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Élevez $6.464102$ à la puissance $2$ .

$f' (6.464102) = 3 \cdot 41.78461466 - 12 \cdot 6.464102 - 24$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $3$ par $41.78461466$ .

$f' (6.464102) = 125.35384399 - 12 \cdot 6.464102 - 24$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 12$ par $6.464102$ .

$f' (6.464102) = 125.35384399 - 77.569224 - 24$

Étape 7.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Soustrayez $77.569224$ de $125.35384399$ .

$f' (6.464102) = 47.78461999 - 24$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $24$ de $47.78461999$ .

$f' (6.464102) = 23.78461999$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $23.78461999$ .

$23.78461999$

Étape 7.3

Sur $x = 6.464102$ la dérivée est $23.78461999$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(2 + 2 \sqrt{3}, \infty)$ .

Augmente sur $(2 + 2 \sqrt{3}, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, 2 - 2 \sqrt{3}), (2 + 2 \sqrt{3}, \infty)$

Diminue sur : $(2 - 2 \sqrt{3}, 2 + 2 \sqrt{3})$

Étape 9