Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - x^{3} - 3 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{3} - 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 x^{2} - 3 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} - 3$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 x^{2} - 3$ .

$- 3 x^{2} - 3$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 3 x^{2} - 3 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 3 x^{2} - 3 = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$- 3 x^{2} = 3$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $- 3 x^{2} = 3$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 3 x^{2} = 3$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{- 3}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $3$ par $- 3$ .

$x^{2} = - 1$

Étape 2.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 2.5

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i$

Étape 2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i$

Étape 2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i$

Étape 2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i, - i$

Étape 3

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé

Étape 4

Aucun point ne rend la dérivée $f' (x) = - 3 x^{2} - 3$ égale à $0$ ni indéfinie. L’intervalle pour vérifier si $f (x) = - x^{3} - 3 x$ est croissant ou décroissant est $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre, tel que $1$ , de l’intervalle $(- \infty, \infty)$ dans la dérivée $f' (x) = - 3 x^{2} - 3$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif. Si le résultat est négatif, le graphe est décroissant sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ . Si le résultat est positif, le graphe est croissant sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = - 3 {(1)}^{2} - 3$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = - 3 \cdot 1 - 3$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f' (1) = - 3 - 3$

Étape 5.2.2

Soustrayez $3$ de $- 3$ .

$f' (1) = - 6$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 6$ .

$- 6$

Étape 6

Le résultat du remplacement de $1$ dans $f' (x) = - 3 x^{2} - 3$ est $- 6$ , qui est négatif, si bien que le graphe est décroissant sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ .

Diminue sur $(- \infty, \infty)$

Étape 7

Diminue sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ signifie que la fonction est toujours décroissante.

Toujours décroissant

Étape 8