Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} + 16 x^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 16 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3})$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (16 x^{3})$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x^{3}$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 16 (3 x^{2})$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $16$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 48 x^{2}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} + 48 x^{2}$ .

$4 x^{3} + 48 x^{2}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} + 48 x^{2} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} + 48 x^{2} = 0$

Étape 2.2

Factorisez $4 x^{2}$ à partir de $4 x^{3} + 48 x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Factorisez $4 x^{2}$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 x^{2} (x) + 48 x^{2} = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $4 x^{2}$ à partir de $48 x^{2}$ .

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (12) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $4 x^{2}$ à partir de $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (12)$ .

$4 x^{2} (x + 12) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 12 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x + 12$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Définissez $x + 12$ égal à $0$ .

$x + 12 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 12$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 x^{2} (x + 12) = 0$ vraie.

$x = 0, - 12$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0, - 12$ .

$0, - 12$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 12) \cup (- 12, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 12)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 13$ dans l’expression.

$f' (- 13) = 4 {(- 13)}^{3} + 48 {(- 13)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Élevez $- 13$ à la puissance $3$ .

$f' (- 13) = 4 \cdot - 2197 + 48 {(- 13)}^{2}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 2197$ .

$f' (- 13) = - 8788 + 48 {(- 13)}^{2}$

Étape 5.2.1.3

Élevez $- 13$ à la puissance $2$ .

$f' (- 13) = - 8788 + 48 \cdot 169$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $48$ par $169$ .

$f' (- 13) = - 8788 + 8112$

Étape 5.2.2

Additionnez $- 8788$ et $8112$ .

$f' (- 13) = - 676$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 676$ .

$- 676$

Étape 5.3

Sur $x = - 13$ la dérivée est $- 676$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, - 12)$ .

Diminue sur $(- \infty, - 12)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 12, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 6$ dans l’expression.

$f' (- 6) = 4 {(- 6)}^{3} + 48 {(- 6)}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $3$ .

$f' (- 6) = 4 \cdot - 216 + 48 {(- 6)}^{2}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 216$ .

$f' (- 6) = - 864 + 48 {(- 6)}^{2}$

Étape 6.2.1.3

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$f' (- 6) = - 864 + 48 \cdot 36$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $48$ par $36$ .

$f' (- 6) = - 864 + 1728$

Étape 6.2.2

Additionnez $- 864$ et $1728$ .

$f' (- 6) = 864$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $864$ .

$864$

Étape 6.3

Sur $x = - 6$ la dérivée est $864$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 12, 0)$ .

Augmente sur $(- 12, 0)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = 4 {(1)}^{3} + 48 {(1)}^{2}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 4 \cdot 1 + 48 {(1)}^{2}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$f' (1) = 4 + 48 {(1)}^{2}$

Étape 7.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 4 + 48 \cdot 1$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $48$ par $1$ .

$f' (1) = 4 + 48$

Étape 7.2.2

Additionnez $4$ et $48$ .

$f' (1) = 52$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $52$ .

$52$

Étape 7.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $52$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(0, \infty)$ .

Augmente sur $(0, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- 12, 0), (0, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, - 12)$

Étape 9