Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x - 1$ et $g (x) = x^{2} + 3$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.2

Multipliez $x^{2} + 3$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.2.7

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.8.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 3 + (- 2 x - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x \cdot x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.3.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} + 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 3 + 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x^{2} + 2 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.1.3.5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ et dont la somme est $b = 2$ .

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Étape 1.1.3.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{- x^{2} + 2 (x) + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.1.2

Réécrivez $2$ comme $- 1$ plus $3$

$\frac{- x^{2} + (- 1 + 3) x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x^{2} - 1 x + 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.1.3.5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(- x^{2} - 1 x) + 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (- x - 1) - 3 (- x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x - 1$ .

$\frac{(- x - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{(- (x) - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.7

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (1)) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.9

Réécrivez $- (x + 1)$ comme $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{- 1 (x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$(x + 1) (x - 3) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 2.3.2

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.3.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.3.3

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.3.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 2.3.3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 2.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = - 1, 3$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $- 1, 3$ .

$- 1, 3$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 1)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = - \frac{((- 2) + 1) ((- 2) - 3)}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1.1

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 (- 2 - 3)}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.1.2

Soustrayez $3$ de $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{{(4 + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $4$ et $3$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{7^{2}}$

Étape 5.2.2.3

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{49}$

Étape 5.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$f' (- 2) = - \frac{5}{49}$

Étape 5.2.4

La réponse finale est $- \frac{5}{49}$ .

$- \frac{5}{49}$

Étape 5.3

Sur $x = - 2$ la dérivée est $- \frac{5}{49}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, - 1)$ .

Diminue sur $(- \infty, - 1)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 1, 3)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = - \frac{((1) + 1) ((1) - 3)}{{({(1)}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 3)}{{(1^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 6.2.1.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{{(1^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{{(1 + 3)}^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{4^{2}}$

Étape 6.2.2.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{16}$

Étape 6.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f' (1) = - \frac{- 4}{16}$

Étape 6.2.3.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $16$ .

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Étape 6.2.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$f' (1) = - \frac{4 (- 1)}{16}$

Étape 6.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$f' (1) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}$

Étape 6.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (1) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}$

Étape 6.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (1) = - \frac{- 1}{4}$

Étape 6.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (1) = \frac{1}{4}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Étape 6.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $\frac{1}{4}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 1, 3)$ .

Augmente sur $(- 1, 3)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(3, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = - \frac{((4) + 1) ((4) - 3)}{{({(4)}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.1.1

Additionnez $4$ et $1$ .

$f' (4) = - \frac{5 (4 - 3)}{{(4^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2

Soustrayez $3$ de $4$ .

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{{(4^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.2.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{{(16 + 3)}^{2}}$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $16$ et $3$ .

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{19^{2}}$

Étape 7.2.2.3

Élevez $19$ à la puissance $2$ .

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{361}$

Étape 7.2.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$f' (4) = - \frac{5}{361}$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $- \frac{5}{361}$ .

$- \frac{5}{361}$

Étape 7.3

Sur $x = 4$ la dérivée est $- \frac{5}{361}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(3, \infty)$ .

Diminue sur $(3, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- 1, 3)$

Diminue sur : $(- \infty, - 1), (3, \infty)$

Étape 9