Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 1}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x - 1$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.2

Multipliez $x^{2} + 1$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{2} + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 1 - (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - (x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.8.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - (x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 1 + (- 2 x - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.3.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2} + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 1 + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + 2 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $2 x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (- 2 x) + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$\frac{- (x^{2} - 2 x) + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.8

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.10

Réécrivez $- (x^{2} - 2 x - 1)$ comme $- 1 (x^{2} - 2 x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.3.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.3.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 2.3.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3.1.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.3.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.3.3.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Étape 2.3.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.3.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.4.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 2.3.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.4.1.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.4.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.3.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.3.4.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Étape 2.3.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 1 + \sqrt{2}$

Étape 2.3.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 2.3.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.1.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.3.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.3.5.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Étape 2.3.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 1 - \sqrt{2}$

Étape 2.3.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$ .

$1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 1 - \sqrt{2}) \cup (1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}) \cup (1 + \sqrt{2}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 1 - \sqrt{2})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.41421357$ dans l’expression.

$f' (- 1.41421357) = - \frac{{(- 1.41421357)}^{2} - 2 \cdot - 1.41421357 - 1}{{({(- 1.41421357)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 1.41421357$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1.41421357) = - \frac{2.00000002 - 2 \cdot - 1.41421357 - 1}{{({(- 1.41421357)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 1.41421357$ .

$f' (- 1.41421357) = - \frac{2.00000002 + 2.82842714 - 1}{{({(- 1.41421357)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.2.1.3

Additionnez $2.00000002$ et $2.82842714$ .

$f' (- 1.41421357) = - \frac{4.82842716 - 1}{{({(- 1.41421357)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.2.1.4

Soustrayez $1$ de $4.82842716$ .

$f' (- 1.41421357) = - \frac{3.82842716}{{({(- 1.41421357)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.2.1

Élevez $- 1.41421357$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1.41421357) = - \frac{3.82842716}{{(2.00000002 + 1)}^{2}}$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $2.00000002$ et $1$ .

$f' (- 1.41421357) = - \frac{3.82842716}{{3.00000002}^{2}}$

Étape 5.2.2.3

Élevez $3.00000002$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1.41421357) = - \frac{3.82842716}{9.00000012}$

Étape 5.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.3.1

Divisez $3.82842716$ par $9.00000012$ .

$f' (- 1.41421357) = - 1 \cdot 0.42538078$

Étape 5.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $0.42538078$ .

$f' (- 1.41421357) = - 0.42538078$

Étape 5.2.4

La réponse finale est $- 0.42538078$ .

$- 0.42538078$

Étape 5.3

Sur $x = - 1.41421357$ la dérivée est $- 0.42538078$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, 1 - \sqrt{2})$ .

Diminue sur $(- \infty, 1 - \sqrt{2})$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 0.41421357, 1 + \sqrt{2})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $1.00000006$ dans l’expression.

$f' (1.00000006) = - \frac{{(1.00000006)}^{2} - 2 \cdot 1.00000006 - 1}{{({(1.00000006)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $1.00000006$ à la puissance $2$ .

$f' (1.00000006) = - \frac{1.00000013 - 2 \cdot 1.00000006 - 1}{{({1.00000006}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $1.00000006$ .

$f' (1.00000006) = - \frac{1.00000013 - 2.00000013 - 1}{{({1.00000006}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 6.2.1.3

Soustrayez $2.00000013$ de $1.00000013$ .

$f' (1.00000006) = - \frac{- 1 - 1}{{({1.00000006}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 6.2.1.4

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$f' (1.00000006) = - \frac{- 2}{{({1.00000006}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

Élevez $1.00000006$ à la puissance $2$ .

$f' (1.00000006) = - \frac{- 2}{{(1.00000013 + 1)}^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $1.00000013$ et $1$ .

$f' (1.00000006) = - \frac{- 2}{{2.00000013}^{2}}$

Étape 6.2.2.3

Élevez $2.00000013$ à la puissance $2$ .

$f' (1.00000006) = - \frac{- 2}{4.00000052}$

Étape 6.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.3.1

Divisez $- 2$ par $4.00000052$ .

$f' (1.00000006) = 0.49999993$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 0.49999993$ .

$f' (1.00000006) = 0.49999993$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $0.49999993$ .

$0.49999993$

Étape 6.3

Sur $x = 1.00000006$ la dérivée est $0.49999993$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 0.41421357, 1 + \sqrt{2})$ .

Augmente sur $(1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(1 + \sqrt{2}, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $3.4142137$ dans l’expression.

$f' (3.4142137) = - \frac{{(3.4142137)}^{2} - 2 \cdot 3.4142137 - 1}{{({(3.4142137)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $3.4142137$ à la puissance $2$ .

$f' (3.4142137) = - \frac{11.65685518 - 2 \cdot 3.4142137 - 1}{{({3.4142137}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $3.4142137$ .

$f' (3.4142137) = - \frac{11.65685518 - 6.8284274 - 1}{{({3.4142137}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 7.2.1.3

Soustrayez $6.8284274$ de $11.65685518$ .

$f' (3.4142137) = - \frac{4.82842778 - 1}{{({3.4142137}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 7.2.1.4

Soustrayez $1$ de $4.82842778$ .

$f' (3.4142137) = - \frac{3.82842778}{{({3.4142137}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.2.1

Élevez $3.4142137$ à la puissance $2$ .

$f' (3.4142137) = - \frac{3.82842778}{{(11.65685518 + 1)}^{2}}$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $11.65685518$ et $1$ .

$f' (3.4142137) = - \frac{3.82842778}{{12.65685518}^{2}}$

Étape 7.2.2.3

Élevez $12.65685518$ à la puissance $2$ .

$f' (3.4142137) = - \frac{3.82842778}{160.19598328}$

Étape 7.2.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.1

Divisez $3.82842778$ par $160.19598328$ .

$f' (3.4142137) = - 1 \cdot 0.0238984$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $0.0238984$ .

$f' (3.4142137) = - 0.0238984$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $- 0.0238984$ .

$- 0.0238984$

Étape 7.3

Sur $x = 3.4142137$ la dérivée est $- 0.0238984$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(1 + \sqrt{2}, \infty)$ .

Diminue sur $(1 + \sqrt{2}, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$

Diminue sur : $(- \infty, 1 - \sqrt{2}), (1 + \sqrt{2}, \infty)$

Étape 9