Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x + 6}{x + 2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x + 6$ et $g (x) = x + 2$ .

$f' (x) = \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} (x + 6) - (x + 6) \frac{d}{d x} (x + 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f' (x) = \frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6)) - (x + 6) \frac{d}{d x} (x + 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 2) (1 + \frac{d}{d x} (6)) - (x + 6) \frac{d}{d x} (x + 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{(x + 2) (1 + 0) - (x + 6) \frac{d}{d x} (x + 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{(x + 2) \cdot 1 - (x + 6) \frac{d}{d x} (x + 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.2

Multipliez $x + 2$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 - (x + 6) \frac{d}{d x} (x + 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 - (x + 6) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2))}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 - (x + 6) (1 + \frac{d}{d x} (2))}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2.7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 - (x + 6) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 - (x + 6) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 - (x + 6)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{x + 2 - x - 1 \cdot 6}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.3.2.1

Associez les termes opposés dans $x + 2 - x - 1 \cdot 6$ .

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Étape 1.1.3.2.1.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f' (x) = \frac{0 + 2 - 1 \cdot 6}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$f' (x) = \frac{2 - 1 \cdot 6}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$f' (x) = \frac{2 - 6}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$f' (x) = \frac{- 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{4}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{4}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$- \frac{4}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{4}{{(x + 2)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{4}{{(x + 2)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 = 0$

Étape 2.3

Comme $4 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{4}{{(x + 2)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x + 2)}^{2} = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Définissez le $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 4.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 5

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = - \frac{4}{{(x + 2)}^{2}}$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = \frac{x + 6}{x + 2}$ augmente et diminue est $(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$ .

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f' (- 3) = - \frac{4}{{((- 3) + 2)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1.1

Additionnez $- 3$ et $2$ .

$f' (- 3) = - \frac{4}{{(- 1)}^{2}}$

Étape 6.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- 3) = - \frac{4}{1}$

Étape 6.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.2.1

Divisez $4$ par $1$ .

$f' (- 3) = - 1 \cdot 4$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f' (- 3) = - 4$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 4$ .

$- 4$

Étape 6.3

Sur $x = - 3$ la dérivée est $- 4$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, - 2)$ .

Diminue sur $(- \infty, - 2)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 2, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = - \frac{4}{{((- 1) + 2)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.1.1

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{4}{1^{2}}$

Étape 7.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (- 1) = - \frac{4}{1}$

Étape 7.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.2.2.1

Divisez $4$ par $1$ .

$f' (- 1) = - 1 \cdot 4$

Étape 7.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f' (- 1) = - 4$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 4$ .

$- 4$

Étape 7.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $- 4$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 2, \infty)$ .

Diminue sur $(- 2, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Diminue sur : $(- \infty, - 2), (- 2, \infty)$

Étape 9