Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{4 x - 8}{2 x + 3}$ , $x = 2$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 4 x - 8$ et $g (x) = 2 x + 3$ .

$\frac{(2 x + 3) \frac{d}{d x} [4 x - 8] - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{(2 x + 3) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x + 3) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 3) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Étape 2.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{(2 x + 3) (4 + \frac{d}{d x} [- 8]) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Étape 2.5

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(2 x + 3) (4 + 0) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{(2 x + 3) \cdot 4 - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Étape 2.6.2

Déplacez $4$ à gauche de $2 x + 3$ .

$\frac{4 \cdot (2 x + 3) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{4 (2 x + 3) - (4 x - 8) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Étape 2.8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 (2 x + 3) - (4 x - 8) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{4 (2 x + 3) - (4 x - 8) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Étape 2.10

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{4 (2 x + 3) - (4 x - 8) (2 + \frac{d}{d x} [3])}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Étape 2.11

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{4 (2 x + 3) - (4 x - 8) (2 + 0)}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Étape 2.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.12.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{4 (2 x + 3) - (4 x - 8) \cdot 2}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Étape 2.12.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{4 (2 x + 3) - 2 (4 x - 8)}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (2 x) + 4 \cdot 3 - 2 (4 x - 8)}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (2 x) + 4 \cdot 3 - 2 (4 x) - 2 \cdot - 8}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Associez les termes opposés dans $4 (2 x) + 4 \cdot 3 - 2 (4 x) - 2 \cdot - 8$ .

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Étape 3.3.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $4 (2 x)$ et $- 2 (4 x)$ .

$\frac{2 \cdot 4 x + 4 \cdot 3 - 2 \cdot 4 x - 2 \cdot - 8}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2

Soustrayez $2 \cdot 4 x$ de $2 \cdot 4 x$ .

$\frac{4 \cdot 3 + 0 - 2 \cdot - 8}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.3.1.3

Additionnez $4 \cdot 3$ et $0$ .

$\frac{4 \cdot 3 - 2 \cdot - 8}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{12 - 2 \cdot - 8}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $- 2$ par $- 8$ .

$\frac{12 + 16}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Additionnez $12$ et $16$ .

$\frac{28}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Étape 4

Évaluez la dérivée sur $x = 2$ .

$\frac{28}{{(2 (2) + 3)}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{28}{{(4 + 3)}^{2}}$

Étape 5.1.2

Additionnez $4$ et $3$ .

$\frac{28}{7^{2}}$

Étape 5.1.3

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$\frac{28}{49}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $28$ et $49$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $7$ à partir de $28$ .

$\frac{7 (4)}{49}$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $7$ à partir de $49$ .

$\frac{7 \cdot 4}{7 \cdot 7}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 \cdot 4}{7 \cdot 7}$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{7}$