Calcul infinitésimal Exemples

$y = - \frac{\frac{x^{- \frac{26}{9}}}{x^{\frac{1}{9}}} - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) x^{- 3} + 2 x^{- 3}}{9}$ , $x = 8$

Étape 1

Placez $x^{- \frac{26}{9}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{9}} x^{\frac{26}{9}}} - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) x^{- 3} + 2 x^{- 3}}{9}]$

Étape 2

Multipliez $x^{\frac{1}{9}}$ par $x^{\frac{26}{9}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [- \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{9} + \frac{26}{9}}} - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) x^{- 3} + 2 x^{- 3}}{9}]$

Étape 2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [- \frac{\frac{1}{x^{\frac{1 + 26}{9}}} - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) x^{- 3} + 2 x^{- 3}}{9}]$

Étape 2.3

Additionnez $1$ et $26$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{\frac{1}{x^{\frac{27}{9}}} - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) x^{- 3} + 2 x^{- 3}}{9}]$

Étape 2.4

Divisez $27$ par $9$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{\frac{1}{x^{3}} - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) x^{- 3} + 2 x^{- 3}}{9}]$

Étape 3

Multipliez $\frac{\frac{1}{x^{3}} - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) x^{- 3} + 2 x^{- 3}}{9}$ par $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [- (\frac{x^{3}}{x^{3}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{3}} - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) x^{- 3} + 2 x^{- 3}}{9})]$

Étape 4

Associez.

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{3} (\frac{1}{x^{3}} - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) x^{- 3} + 2 x^{- 3})}{x^{3} \cdot 9}]$

Étape 5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{3} \frac{1}{x^{3}} + x^{3} (- 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) x^{- 3}) + x^{3} (2 x^{- 3})}{x^{3} \cdot 9}]$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{3} \frac{1}{x^{3}} + x^{3} (- 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) x^{- 3}) + x^{3} (2 x^{- 3})}{x^{3} \cdot 9}]$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d x} [- \frac{1 + x^{3} (- 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) x^{- 3}) + x^{3} (2 x^{- 3})}{x^{3} \cdot 9}]$

Étape 7

Multipliez $x^{3}$ par $x^{- 3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1

Déplacez $x^{- 3}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1 + x^{- 3} x^{3} (- 18 \ln (x^{\frac{1}{9}})) + x^{3} (2 x^{- 3})}{x^{3} \cdot 9}]$

Étape 7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [- \frac{1 + x^{- 3 + 3} (- 18 \ln (x^{\frac{1}{9}})) + x^{3} (2 x^{- 3})}{x^{3} \cdot 9}]$

Étape 7.3

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1 + x^{0} (- 18 \ln (x^{\frac{1}{9}})) + x^{3} (2 x^{- 3})}{x^{3} \cdot 9}]$

Étape 8

Simplifiez $x^{0} (- 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}))$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1 - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) + x^{3} (2 x^{- 3})}{x^{3} \cdot 9}]$

Étape 9

Multipliez $x^{3}$ par $x^{- 3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.1

Déplacez $x^{- 3}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1 - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) + x^{- 3} x^{3} \cdot 2}{x^{3} \cdot 9}]$

Étape 9.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [- \frac{1 - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) + x^{- 3 + 3} \cdot 2}{x^{3} \cdot 9}]$

Étape 9.3

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1 - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) + x^{0} \cdot 2}{x^{3} \cdot 9}]$

Étape 10

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.1

Simplifiez $x^{0} \cdot 2$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1 - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) + 2}{x^{3} \cdot 9}]$

Étape 10.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}})}{x^{3} \cdot 9}]$

Étape 10.3

Déplacez $9$ à gauche de $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}})}{9 \cdot x^{3}}]$

Étape 11

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 (1) - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}})}{9 x^{3}}]$

Étape 12

Factorisez $3$ à partir de $- 18 \ln (x^{\frac{1}{9}})$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 (1) + 3 (- 6 \ln (x^{\frac{1}{9}}))}{9 x^{3}}]$

Étape 13

Factorisez $3$ à partir de $3 (1) + 3 (- 6 \ln (x^{\frac{1}{9}}))$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}}))}{9 x^{3}}]$

Étape 14

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.1

Factorisez $3$ à partir de $9 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}}))}{3 (3 x^{3})}]$

Étape 14.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}}))}{3 (3 x^{3})}]$

Étape 14.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d x} [- \frac{1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})}{3 x^{3}}]$

Étape 15

Comme $- \frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})}{3 x^{3}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})}{x^{3}}]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})}{x^{3}}]$

Étape 16

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})$ et $g (x) = x^{3}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Étape 17

Différenciez.

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Étape 17.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{2}$ .

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Étape 17.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Étape 17.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 17.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})]$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})]) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 17.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})]) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 17.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})]$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 17.5

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{9}})]$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} (- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{9}})]) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 18

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{\frac{1}{9}}$ .

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Étape 18.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{1}{9}}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} (- 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}])) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 18.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} (- 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}])) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 18.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{9}}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} (- 6 (\frac{1}{x^{\frac{1}{9}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}])) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 19

Associez les fractions.

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Étape 19.1

Associez $\frac{1}{x^{\frac{1}{9}}}$ et $- 6$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} (\frac{- 6}{x^{\frac{1}{9}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}]) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 19.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} (- \frac{6}{x^{\frac{1}{9}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}]) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 19.3

Associez $x^{3}$ et $\frac{6}{x^{\frac{1}{9}}}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{x^{3} \cdot 6}{x^{\frac{1}{9}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 19.4

Déplacez $6$ à gauche de $x^{3}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{6 \cdot x^{3}}{x^{\frac{1}{9}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 20

Placez $x^{\frac{1}{9}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- (6 x^{3} x^{- \frac{1}{9}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 21

Multipliez $x^{3}$ par $x^{- \frac{1}{9}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 21.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{9}}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- (6 (x^{- \frac{1}{9}} x^{3})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 21.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- (6 x^{- \frac{1}{9} + 3}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 21.3

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- (6 x^{- \frac{1}{9} + 3 \cdot \frac{9}{9}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 21.4

Associez $3$ et $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- (6 x^{- \frac{1}{9} + \frac{3 \cdot 9}{9}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 21.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- (6 x^{\frac{- 1 + 3 \cdot 9}{9}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 21.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 21.6.1

Multipliez $3$ par $9$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- (6 x^{\frac{- 1 + 27}{9}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 21.6.2

Additionnez $- 1$ et $27$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- (6 x^{\frac{26}{9}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 22

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 6 x^{\frac{26}{9}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 23

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{9}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 6 x^{\frac{26}{9}} (\frac{1}{9} x^{\frac{1}{9} - 1}) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 24

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 6 x^{\frac{26}{9}} (\frac{1}{9} x^{\frac{1}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}}) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 25

Associez $- 1$ et $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 6 x^{\frac{26}{9}} (\frac{1}{9} x^{\frac{1}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}}) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 26

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 6 x^{\frac{26}{9}} (\frac{1}{9} x^{\frac{1 - 1 \cdot 9}{9}}) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 27

Simplifiez le numérateur.

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Étape 27.1

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 6 x^{\frac{26}{9}} (\frac{1}{9} x^{\frac{1 - 9}{9}}) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 27.2

Soustrayez $9$ de $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 6 x^{\frac{26}{9}} (\frac{1}{9} x^{\frac{- 8}{9}}) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 28

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 6 x^{\frac{26}{9}} (\frac{1}{9} x^{- \frac{8}{9}}) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 29

Associez $\frac{1}{9}$ et $x^{- \frac{8}{9}}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 6 x^{\frac{26}{9}} \frac{x^{- \frac{8}{9}}}{9} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 30

Associez $- 6$ et $\frac{x^{- \frac{8}{9}}}{9}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{26}{9}} \frac{- 6 x^{- \frac{8}{9}}}{9} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 31

Associez $x^{\frac{26}{9}}$ et $\frac{- 6 x^{- \frac{8}{9}}}{9}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{x^{\frac{26}{9}} (- 6 x^{- \frac{8}{9}})}{9} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 32

Multipliez $x^{\frac{26}{9}}$ par $x^{- \frac{8}{9}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 32.1

Déplacez $x^{- \frac{8}{9}}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{x^{- \frac{8}{9}} x^{\frac{26}{9}} \cdot - 6}{9} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 32.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{x^{- \frac{8}{9} + \frac{26}{9}} \cdot - 6}{9} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 32.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{x^{\frac{- 8 + 26}{9}} \cdot - 6}{9} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 32.4

Additionnez $- 8$ et $26$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{x^{\frac{18}{9}} \cdot - 6}{9} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 32.5

Divisez $18$ par $9$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{x^{2} \cdot - 6}{9} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 33

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 33.1

Déplacez $- 6$ à gauche de $x^{2}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{- 6 \cdot x^{2}}{9} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 33.2

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $9$ .

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Étape 33.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6 x^{2}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{3 (- 2 x^{2})}{9} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 33.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 33.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 (3)} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 33.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 \cdot 3} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 33.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{- 2 x^{2}}{3} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 33.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{2 x^{2}}{3} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 34

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{2 x^{2}}{3} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Étape 35

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{2 x^{2}}{3} - 3 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2}}{x^{6}}$

Étape 36

Pour écrire $- 3 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{2 x^{2}}{3} - 3 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2} \cdot \frac{3}{3}}{x^{6}}$

Étape 37

Associez $- 3 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2}$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{2 x^{2}}{3} + \frac{- 3 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2} \cdot 3}{3}}{x^{6}}$

Étape 38

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{- 2 x^{2} - 3 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2} \cdot 3}{3}}{x^{6}}$

Étape 39

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{- 2 x^{2} - 9 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2}}{3}}{x^{6}}$

Étape 40

Réécrivez $\frac{\frac{- 2 x^{2} - 9 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2}}{3}}{x^{6}}$ comme un produit.

$- \frac{1}{3} (\frac{- 2 x^{2} - 9 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2}}{3} \cdot \frac{1}{x^{6}})$

Étape 41

Multipliez $\frac{- 2 x^{2} - 9 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2}}{3}$ par $\frac{1}{x^{6}}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 2 x^{2} - 9 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2}}{3 x^{6}}$

Étape 42

Multipliez $\frac{- 2 x^{2} - 9 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2}}{3 x^{6}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2}}{3 x^{6} \cdot 3}$

Étape 43

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2}}{9 x^{6}}$

Étape 44

Simplifiez

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Étape 44.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{- 2 x^{2} + (- 9 \cdot 1 - 9 (- 6 \ln (x^{\frac{1}{9}}))) x^{2}}{9 x^{6}}$

Étape 44.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 \cdot 1 x^{2} - 9 (- 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2}}{9 x^{6}}$

Étape 44.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 44.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 44.3.1.1

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} - 9 (- 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2}}{9 x^{6}}$

Étape 44.3.1.2

Simplifiez $- 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})$ en déplaçant $6$ dans le logarithme.

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} - 9 (- \ln ({(x^{\frac{1}{9}})}^{6})) x^{2}}{9 x^{6}}$

Étape 44.3.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{9}})}^{6}$ .

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Étape 44.3.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} - 9 (- \ln (x^{\frac{1}{9} \cdot 6})) x^{2}}{9 x^{6}}$

Étape 44.3.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 44.3.1.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} - 9 (- \ln (x^{\frac{1}{3 (3)} \cdot 6})) x^{2}}{9 x^{6}}$

Étape 44.3.1.3.2.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} - 9 (- \ln (x^{\frac{1}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot 2)})) x^{2}}{9 x^{6}}$

Étape 44.3.1.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} - 9 (- \ln (x^{\frac{1}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot 2)})) x^{2}}{9 x^{6}}$

Étape 44.3.1.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} - 9 (- \ln (x^{\frac{1}{3} \cdot 2})) x^{2}}{9 x^{6}}$

Étape 44.3.1.3.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $2$ .

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} - 9 (- \ln (x^{\frac{2}{3}})) x^{2}}{9 x^{6}}$

Étape 44.3.1.4

Multipliez $- 9 (- \ln (x^{\frac{2}{3}}))$ .

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Étape 44.3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} + 9 \ln (x^{\frac{2}{3}}) x^{2}}{9 x^{6}}$

Étape 44.3.1.4.2

Simplifiez $9 \ln (x^{\frac{2}{3}})$ en déplaçant $9$ dans le logarithme.

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} + \ln ({(x^{\frac{2}{3}})}^{9}) x^{2}}{9 x^{6}}$

Étape 44.3.1.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{3}})}^{9}$ .

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Étape 44.3.1.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} + \ln (x^{\frac{2}{3} \cdot 9}) x^{2}}{9 x^{6}}$

Étape 44.3.1.5.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 44.3.1.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} + \ln (x^{\frac{2}{3} \cdot (3 (3))}) x^{2}}{9 x^{6}}$

Étape 44.3.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} + \ln (x^{\frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 3)}) x^{2}}{9 x^{6}}$

Étape 44.3.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} + \ln (x^{2 \cdot 3}) x^{2}}{9 x^{6}}$

Étape 44.3.1.5.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} + \ln (x^{6}) x^{2}}{9 x^{6}}$

Étape 44.3.2

Soustrayez $9 x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$- \frac{- 11 x^{2} + \ln (x^{6}) x^{2}}{9 x^{6}}$

Étape 44.3.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 11 x^{2} + \ln (x^{6}) x^{2}$ .

$- \frac{- 11 x^{2} + x^{2} \ln (x^{6})}{9 x^{6}}$

Étape 44.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 11 x^{2} + x^{2} \ln (x^{6})$ .

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Étape 44.4.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 11 x^{2}$ .

$- \frac{x^{2} \cdot - 11 + x^{2} \ln (x^{6})}{9 x^{6}}$

Étape 44.4.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} \ln (x^{6})$ .

$- \frac{x^{2} \cdot - 11 + x^{2} (\ln (x^{6}))}{9 x^{6}}$

Étape 44.4.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} \cdot - 11 + x^{2} (\ln (x^{6}))$ .

$- \frac{x^{2} (- 11 + \ln (x^{6}))}{9 x^{6}}$

Étape 44.5

Développez $\ln (x^{6})$ en déplaçant $6$ hors du logarithme.

$- \frac{x^{2} (- 11 + 6 \ln (x))}{9 x^{6}}$

Étape 44.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 44.6.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $9 x^{6}$ .

$- \frac{x^{2} (- 11 + 6 \ln (x))}{x^{2} (9 x^{4})}$

Étape 44.6.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{x^{2} (- 11 + 6 \ln (x))}{x^{2} (9 x^{4})}$

Étape 44.6.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{- 11 + 6 \ln (x)}{9 x^{4}}$

Étape 44.7

Réécrivez $- 11$ comme $- 1 (11)$ .

$- \frac{- 1 (11) + 6 \ln (x)}{9 x^{4}}$

Étape 44.8

Factorisez $- 1$ à partir de $6 \ln (x)$ .

$- \frac{- 1 (11) - (- 6 \ln (x))}{9 x^{4}}$

Étape 44.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (11) - (- 6 \ln (x))$ .

$- \frac{- 1 (11 - 6 \ln (x))}{9 x^{4}}$

Étape 44.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{11 - 6 \ln (x)}{9 x^{4}}$

Étape 44.11

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{11 - 6 \ln (x)}{9 x^{4}}$

Étape 44.12

Multipliez $\frac{11 - 6 \ln (x)}{9 x^{4}}$ par $1$ .

$\frac{11 - 6 \ln (x)}{9 x^{4}}$

Étape 45

Évaluez la dérivée sur $x = 8$ .

$\frac{11 - 6 \ln (8)}{9 {(8)}^{4}}$

Étape 46

Simplifiez

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Étape 46.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 46.1.1

Simplifiez $- 6 \ln (8)$ en déplaçant $6$ dans le logarithme.

$\frac{11 - \ln (8^{6})}{9 \cdot 8^{4}}$

Étape 46.1.2

Élevez $8$ à la puissance $6$ .

$\frac{11 - \ln (262144)}{9 \cdot 8^{4}}$

Étape 46.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 46.2.1

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$\frac{11 - \ln (262144)}{9 \cdot 4096}$

Étape 46.2.2

Multipliez $9$ par $4096$ .

$\frac{11 - \ln (262144)}{36864}$