Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{3 x - 5}$ , $x = 1$

Étape 1

Réécrivez $\frac{1}{3 x - 5}$ comme ${(3 x - 5)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 x - 5)}^{- 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = 3 x - 5$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x - 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x - 5$ .

$- {(3 x - 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$- {(3 x - 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(3 x - 5)}^{- 2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- {(3 x - 5)}^{- 2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 3.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$- {(3 x - 5)}^{- 2} (3 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 3.5

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- {(3 x - 5)}^{- 2} (3 + 0)$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$- {(3 x - 5)}^{- 2} \cdot 3$

Étape 3.6.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 {(3 x - 5)}^{- 2}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{{(3 x - 5)}^{2}}$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Associez $- 3$ et $\frac{1}{{(3 x - 5)}^{2}}$ .

$\frac{- 3}{{(3 x - 5)}^{2}}$

Étape 4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{{(3 x - 5)}^{2}}$

Étape 5

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$- \frac{3}{{(3 (1) - 5)}^{2}}$

Étape 6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$- \frac{3}{{(3 - 5)}^{2}}$

Étape 6.2

Soustrayez $5$ de $3$ .

$- \frac{3}{{(- 2)}^{2}}$

Étape 6.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{3}{4}$