Calcul infinitésimal Exemples

$V = \cos (102 t) \sin (201 t)$ , $t = 4$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = \cos (102 t)$ et $g (t) = \sin (201 t)$ .

$\cos (102 t) \frac{d}{d t} [\sin (201 t)] + \sin (201 t) \frac{d}{d t} [\cos (102 t)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \sin (t)$ et $g (t) = 201 t$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $201 t$ .

$\cos (102 t) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d t} [201 t]) + \sin (201 t) \frac{d}{d t} [\cos (102 t)]$

Étape 2.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$\cos (102 t) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} [201 t]) + \sin (201 t) \frac{d}{d t} [\cos (102 t)]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $201 t$ .

$\cos (102 t) (\cos (201 t) \frac{d}{d t} [201 t]) + \sin (201 t) \frac{d}{d t} [\cos (102 t)]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $201$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $201 t$ par rapport à $t$ est $201 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\cos (102 t) \cos (201 t) (201 \frac{d}{d t} [t]) + \sin (201 t) \frac{d}{d t} [\cos (102 t)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (102 t) \cos (201 t) (201 \cdot 1) + \sin (201 t) \frac{d}{d t} [\cos (102 t)]$

Étape 3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.1

Multipliez $201$ par $1$ .

$\cos (102 t) \cos (201 t) \cdot 201 + \sin (201 t) \frac{d}{d t} [\cos (102 t)]$

Étape 3.3.2

Déplacez $201$ à gauche de $\cos (102 t) \cos (201 t)$ .

$201 \cdot (\cos (102 t) \cos (201 t)) + \sin (201 t) \frac{d}{d t} [\cos (102 t)]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \cos (t)$ et $g (t) = 102 t$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $102 t$ .

$201 \cos (102 t) \cos (201 t) + \sin (201 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [102 t])$

Étape 4.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$201 \cos (102 t) \cos (201 t) + \sin (201 t) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [102 t])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $102 t$ .

$201 \cos (102 t) \cos (201 t) + \sin (201 t) (- \sin (102 t) \frac{d}{d t} [102 t])$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Comme $102$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $102 t$ par rapport à $t$ est $102 \frac{d}{d t} [t]$ .

$201 \cos (102 t) \cos (201 t) + \sin (201 t) (- \sin (102 t) (102 \frac{d}{d t} [t]))$

Étape 5.2

Multipliez $102$ par $- 1$ .

$201 \cos (102 t) \cos (201 t) + \sin (201 t) (- 102 \sin (102 t) \frac{d}{d t} [t])$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$201 \cos (102 t) \cos (201 t) + \sin (201 t) (- 102 \sin (102 t) \cdot 1)$

Étape 5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.1

Multipliez $- 102$ par $1$ .

$201 \cos (102 t) \cos (201 t) + \sin (201 t) (- 102 \sin (102 t))$

Étape 5.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$201 \cos (102 t) \cos (201 t) - 102 \sin (102 t) \sin (201 t)$

Étape 6

Évaluez la dérivée sur $t = 4$ .

$201 \cos (102 (4)) \cos (201 (4)) - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Multipliez $102$ par $4$ .

$201 \cos (408) \cos (201 (4)) - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

Étape 7.1.2

Remove full rotations of $360$ ° until the angle is between $0$ ° and $360$ °.

$201 \cos (48) \cos (201 (4)) - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

Étape 7.1.3

Évaluez $\cos (48)$ .

$201 \cdot 0.6691306 \cos (201 (4)) - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

Étape 7.1.4

Multipliez $201$ par $0.6691306$ .

$134.49525187 \cos (201 (4)) - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

Étape 7.1.5

Multipliez $201$ par $4$ .

$134.49525187 \cos (804) - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

Étape 7.1.6

Remove full rotations of $360$ ° until the angle is between $0$ ° and $360$ °.

$134.49525187 \cos (84) - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

Étape 7.1.7

Évaluez $\cos (84)$ .

$134.49525187 \cdot 0.10452846 - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

Étape 7.1.8

Multipliez $134.49525187$ par $0.10452846$ .

$14.05858199 - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

Étape 7.1.9

Multipliez $102$ par $4$ .

$14.05858199 - 102 \sin (408) \sin (201 (4))$

Étape 7.1.10

Remove full rotations of $360$ ° until the angle is between $0$ ° and $360$ °.

$14.05858199 - 102 \sin (48) \sin (201 (4))$

Étape 7.1.11

Évaluez $\sin (48)$ .

$14.05858199 - 102 \cdot 0.74314482 \sin (201 (4))$

Étape 7.1.12

Multipliez $- 102$ par $0.74314482$ .

$14.05858199 - 75.80077219 \sin (201 (4))$

Étape 7.1.13

Multipliez $201$ par $4$ .

$14.05858199 - 75.80077219 \sin (804)$

Étape 7.1.14

Remove full rotations of $360$ ° until the angle is between $0$ ° and $360$ °.

$14.05858199 - 75.80077219 \sin (84)$

Étape 7.1.15

Évaluez $\sin (84)$ .

$14.05858199 - 75.80077219 \cdot 0.99452189$

Étape 7.1.16

Multipliez $- 75.80077219$ par $0.99452189$ .

$14.05858199 - 75.38552763$

Étape 7.2

Soustrayez $75.38552763$ de $14.05858199$ .

$- 61.32694564$