Calcul infinitésimal Exemples

$V = 3 \sin (186 t) \cos (186 t)$ , $t = 0.002$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 \sin (186 t) \cos (186 t)$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [\sin (186 t) \cos (186 t)]$ .

$3 \frac{d}{d t} [\sin (186 t) \cos (186 t)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = \sin (186 t)$ et $g (t) = \cos (186 t)$ .

$3 (\sin (186 t) \frac{d}{d t} [\cos (186 t)] + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \cos (t)$ et $g (t) = 186 t$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $186 t$ .

$3 (\sin (186 t) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [186 t]) + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

Étape 3.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$3 (\sin (186 t) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [186 t]) + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $186 t$ .

$3 (\sin (186 t) (- \sin (186 t) \frac{d}{d t} [186 t]) + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

Étape 4

Élevez $\sin (186 t)$ à la puissance $1$ .

$3 (- (\sin^{1} (186 t) \sin (186 t)) \frac{d}{d t} [186 t] + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

Étape 5

Élevez $\sin (186 t)$ à la puissance $1$ .

$3 (- (\sin^{1} (186 t) \sin^{1} (186 t)) \frac{d}{d t} [186 t] + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 (- {\sin (186 t)}^{1 + 1} \frac{d}{d t} [186 t] + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

Étape 7

Différenciez.

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Étape 7.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 (- \sin^{2} (186 t) \frac{d}{d t} [186 t] + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

Étape 7.2

Comme $186$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $186 t$ par rapport à $t$ est $186 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 (- \sin^{2} (186 t) (186 \frac{d}{d t} [t]) + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

Étape 7.3

Multipliez $186$ par $- 1$ .

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) \frac{d}{d t} [t] + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

Étape 7.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) \cdot 1 + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

Étape 7.5

Multipliez $- 186$ par $1$ .

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \sin (t)$ et $g (t) = 186 t$ .

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Étape 8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $186 t$ .

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + \cos (186 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [186 t]))$

Étape 8.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + \cos (186 t) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [186 t]))$

Étape 8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $186 t$ .

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + \cos (186 t) (\cos (186 t) \frac{d}{d t} [186 t]))$

Étape 9

Élevez $\cos (186 t)$ à la puissance $1$ .

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + \cos^{1} (186 t) \cos (186 t) \frac{d}{d t} [186 t])$

Étape 10

Élevez $\cos (186 t)$ à la puissance $1$ .

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + \cos^{1} (186 t) \cos^{1} (186 t) \frac{d}{d t} [186 t])$

Étape 11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + {\cos (186 t)}^{1 + 1} \frac{d}{d t} [186 t])$

Étape 12

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + \cos^{2} (186 t) \frac{d}{d t} [186 t])$

Étape 13

Comme $186$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $186 t$ par rapport à $t$ est $186 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + \cos^{2} (186 t) (186 \frac{d}{d t} [t]))$

Étape 14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + \cos^{2} (186 t) (186 \cdot 1))$

Étape 15

Simplifiez l’expression.

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Étape 15.1

Multipliez $186$ par $1$ .

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + \cos^{2} (186 t) \cdot 186)$

Étape 15.2

Déplacez $186$ à gauche de $\cos^{2} (186 t)$ .

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + 186 \cdot \cos^{2} (186 t))$

Étape 16

Simplifiez

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Étape 16.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t)) + 3 (186 \cos^{2} (186 t))$

Étape 16.2

Associez des termes.

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Étape 16.2.1

Multipliez $- 186$ par $3$ .

$- 558 \sin^{2} (186 t) + 3 (186 \cos^{2} (186 t))$

Étape 16.2.2

Multipliez $186$ par $3$ .

$- 558 \sin^{2} (186 t) + 558 \cos^{2} (186 t)$

Étape 17

Évaluez la dérivée sur $t = 0.002$ .

$- 558 \sin^{2} (186 (0.002)) + 558 \cos^{2} (186 (0.002))$

Étape 18

Simplifiez

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Étape 18.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 18.1.1

Multipliez $186$ par $0.002$ .

$- 558 \sin^{2} (0.372) + 558 \cos^{2} (186 (0.002))$

Étape 18.1.2

Multipliez $- 558$ par $\sin^{2} (0.372)$ .

$- 73.72142367 + 558 \cos^{2} (186 (0.002))$

Étape 18.1.3

Multipliez $186$ par $0.002$ .

$- 73.72142367 + 558 \cos^{2} (0.372)$

Étape 18.1.4

Multipliez $558$ par $\cos^{2} (0.372)$ .

$- 73.72142367 + 484.27857632$

Étape 18.2

Additionnez $- 73.72142367$ et $484.27857632$ .

$410.55715264$