Calcul infinitésimal Exemples

$3$ , $\frac{3}{4}$ , $\frac{3}{16}$ , $\frac{3}{64}$

Étape 1

C’est une séquence géométrique car il y a un rapport commun entre chaque terme. Dans ce cas, la multiplication du terme précédent dans la séquence par $\frac{1}{4}$ produit le terme suivant. En d’autres termes, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Séquence géométrique : $r = \frac{1}{4}$

Étape 2

C’est la forme d’une séquence géométrique.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Étape 3

Remplacez les valeurs de $a_{1} = 3$ et $r = \frac{1}{4}$ .

$a_{n} = 3 {(\frac{1}{4})}^{n - 1}$

Étape 4

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{4}$ .

$a_{n} = 3 \frac{1^{n - 1}}{4^{n - 1}}$

Étape 5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$a_{n} = 3 \frac{1}{4^{n - 1}}$

Étape 6

Associez $3$ et $\frac{1}{4^{n - 1}}$ .

$a_{n} = \frac{3}{4^{n - 1}}$

Étape 7

Cette formule permet de déterminer la somme des $n$ premiers termes de la séquence géométrique. Pour l’évaluer, déterminez les valeurs de $r$ et $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Étape 8

Remplacez les variables par les valeurs connues pour déterminer $S_{4}$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{{(\frac{1}{4})}^{4} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{4}$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1^{4}}{4^{4}} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

Étape 9.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1}{4^{4}} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

Étape 9.3

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1}{256} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

Étape 9.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{256}{256}$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1}{256} - 1 \cdot \frac{256}{256}}{\frac{1}{4} - 1}$

Étape 9.5

Associez $- 1$ et $\frac{256}{256}$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1}{256} + \frac{- 1 \cdot 256}{256}}{\frac{1}{4} - 1}$

Étape 9.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1 - 1 \cdot 256}{256}}{\frac{1}{4} - 1}$

Étape 9.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.7.1

Multipliez $- 1$ par $256$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1 - 256}{256}}{\frac{1}{4} - 1}$

Étape 9.7.2

Soustrayez $256$ de $1$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{- 255}{256}}{\frac{1}{4} - 1}$

Étape 9.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{\frac{1}{4} - 1}$

Étape 10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}$

Étape 10.2

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}$

Étape 10.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}}$

Étape 10.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.4.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{\frac{1 - 4}{4}}$

Étape 10.4.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{\frac{- 3}{4}}$

Étape 10.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{- \frac{3}{4}}$

Étape 11

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{255}{256}}{\frac{3}{4}}$

Étape 12

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$S_{4} = 3 \cdot (\frac{255}{256} \cdot \frac{4}{3})$

Étape 13

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 13.1

Factorisez $3$ à partir de $255$ .

$S_{4} = 3 \cdot (\frac{3 (85)}{256} \cdot \frac{4}{3})$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun.

$S_{4} = 3 \cdot (\frac{3 \cdot 85}{256} \cdot \frac{4}{3})$

Étape 13.3

Réécrivez l’expression.

$S_{4} = 3 \cdot (\frac{85}{256} \cdot 4)$

Étape 14

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 14.1

Factorisez $4$ à partir de $256$ .

$S_{4} = 3 \cdot (\frac{85}{4 (64)} \cdot 4)$

Étape 14.2

Annulez le facteur commun.

$S_{4} = 3 \cdot (\frac{85}{4 \cdot 64} \cdot 4)$

Étape 14.3

Réécrivez l’expression.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{85}{64}$

Étape 15

Multipliez $3 (\frac{85}{64})$ .

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Étape 15.1

Associez $3$ et $\frac{85}{64}$ .

$S_{4} = \frac{3 \cdot 85}{64}$

Étape 15.2

Multipliez $3$ par $85$ .

$S_{4} = \frac{255}{64}$