Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x$ , $[- 8, 8]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{3} x^{3} - 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 1.1.1.2.3

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 1.1.1.2.4

Associez $\frac{3}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 1.1.1.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.1.1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 1.1.1.2.5.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} - 4 \cdot 1$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 4$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{2} - 4$ .

$x^{2} - 4$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{2} - 4 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x^{2} - 4 = 0$

Étape 1.2.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 4$

Étape 1.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 1.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 1.2.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 1.2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 1.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 1.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 1.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $\frac{1}{3} x^{3} - 4 x$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(2)}^{3} - 4 \cdot 2$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 - 4 \cdot 2$

Étape 1.4.1.2.1.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $8$ .

$\frac{8}{3} - 4 \cdot 2$

Étape 1.4.1.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$\frac{8}{3} - 8$

Étape 1.4.1.2.2

Pour écrire $- 8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} - 8 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 1.4.1.2.3

Associez $- 8$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3}$

Étape 1.4.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 - 8 \cdot 3}{3}$

Étape 1.4.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1.2.5.1

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$\frac{8 - 24}{3}$

Étape 1.4.1.2.5.2

Soustrayez $24$ de $8$ .

$\frac{- 16}{3}$

Étape 1.4.1.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{16}{3}$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = - 2$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - 4 \cdot - 2$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 8 - 4 \cdot - 2$

Étape 1.4.2.2.1.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 8$ .

$\frac{- 8}{3} - 4 \cdot - 2$

Étape 1.4.2.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8}{3} - 4 \cdot - 2$

Étape 1.4.2.2.1.4

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$- \frac{8}{3} + 8$

Étape 1.4.2.2.2

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 1.4.2.2.3

Associez $8$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3}$

Étape 1.4.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 8 + 8 \cdot 3}{3}$

Étape 1.4.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.2.2.5.1

Multipliez $8$ par $3$ .

$\frac{- 8 + 24}{3}$

Étape 1.4.2.2.5.2

Additionnez $- 8$ et $24$ .

$\frac{16}{3}$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(2, - \frac{16}{3}), (- 2, \frac{16}{3})$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = - 8$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $- 8$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(- 8)}^{3} - 4 \cdot - 8$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 512 - 4 \cdot - 8$

Étape 2.1.2.1.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 512$ .

$\frac{- 512}{3} - 4 \cdot - 8$

Étape 2.1.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{512}{3} - 4 \cdot - 8$

Étape 2.1.2.1.4

Multipliez $- 4$ par $- 8$ .

$- \frac{512}{3} + 32$

Étape 2.1.2.2

Pour écrire $32$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{512}{3} + 32 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 2.1.2.3

Associez $32$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{512}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3}$

Étape 2.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 512 + 32 \cdot 3}{3}$

Étape 2.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.5.1

Multipliez $32$ par $3$ .

$\frac{- 512 + 96}{3}$

Étape 2.1.2.5.2

Additionnez $- 512$ et $96$ .

$\frac{- 416}{3}$

Étape 2.1.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{416}{3}$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 8$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $8$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(8)}^{3} - 4 \cdot 8$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 512 - 4 \cdot 8$

Étape 2.2.2.1.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $512$ .

$\frac{512}{3} - 4 \cdot 8$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $8$ .

$\frac{512}{3} - 32$

Étape 2.2.2.2

Pour écrire $- 32$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{512}{3} - 32 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 2.2.2.3

Associez $- 32$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{512}{3} + \frac{- 32 \cdot 3}{3}$

Étape 2.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{512 - 32 \cdot 3}{3}$

Étape 2.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.2.5.1

Multipliez $- 32$ par $3$ .

$\frac{512 - 96}{3}$

Étape 2.2.2.5.2

Soustrayez $96$ de $512$ .

$\frac{416}{3}$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(- 8, - \frac{416}{3}), (8, \frac{416}{3})$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(8, \frac{416}{3})$

Minimum absolu : $(- 8, - \frac{416}{3})$

Étape 4