Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sin (2 x) + 3$ , $[- π, π]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (2 x) + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.1.1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.2.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.2.5

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 \cos (2 x) + 0$

Étape 1.1.1.3.2

Additionnez $2 \cos (2 x)$ et $0$ .

$f' (x) = 2 \cos (2 x)$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 \cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 \cos (2 x) = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 \cos (2 x) = 0$

Étape 1.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \cos (2 x) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \cos (2 x) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Divisez $\cos (2 x)$ par $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{0}{2}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$\cos (2 x) = 0$

Étape 1.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$2 x = \arccos (0)$

Étape 1.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Étape 1.2.5

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.5.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 1.2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 1.2.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 1.2.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 1.2.5.3.2

Multipliez $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.2.5.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 1.2.6

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.7

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.7.1

Simplifiez

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Étape 1.2.7.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.7.1.2

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.7.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 1.2.7.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 1.2.7.1.5

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Étape 1.2.7.2

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{3 π}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.7.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{3 π}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 1.2.7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 1.2.7.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 1.2.7.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.7.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 1.2.7.2.3.2

Multipliez $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.2.7.2.3.2.1

Multipliez $\frac{3 π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.7.2.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 1.2.8

Déterminez la période de $\cos (2 x)$ .

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Étape 1.2.8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.2.8.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 1.2.8.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 1.2.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 1.2.8.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 1.2.9

La période de la fonction $\cos (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.10

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $\sin (2 x) + 3$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = \frac{π}{4}$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{π}{4}$ .

$\sin (2 (\frac{π}{4})) + 3$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.1.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\sin (2 \frac{π}{2 (2)}) + 3$

Étape 1.4.1.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2}) + 3$

Étape 1.4.1.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (\frac{π}{2}) + 3$

Étape 1.4.1.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$1 + 3$

Étape 1.4.1.2.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$4$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = \frac{3 π}{4}$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{3 π}{4}$ .

$\sin (2 (\frac{3 π}{4})) + 3$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.2.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\sin (2 \frac{3 π}{2 (2)}) + 3$

Étape 1.4.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (2 \frac{3 π}{2 \cdot 2}) + 3$

Étape 1.4.2.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (\frac{3 π}{2}) + 3$

Étape 1.4.2.2.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$- \sin (\frac{π}{2}) + 3$

Étape 1.4.2.2.1.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- 1 \cdot 1 + 3$

Étape 1.4.2.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 + 3$

Étape 1.4.2.2.2

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$2$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(\frac{π}{4} + π n, 4), (\frac{3 π}{4} + π n, 2)$ , pour tout entier $n$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(- \frac{3 π}{4}, 4), (\frac{π}{4}, 4), (- \frac{π}{4}, 2), (\frac{3 π}{4}, 2)$

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 3.1

Évaluez sur $x = - π$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez $x$ par $- π$ .

$\sin (2 (- π)) + 3$

Étape 3.1.2

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\sin (- 2 π) + 3$

Étape 3.1.2.1.2

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\sin (0) + 3$

Étape 3.1.2.1.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$0 + 3$

Étape 3.1.2.2

Additionnez $0$ et $3$ .

$3$

Étape 3.2

Évaluez sur $x = π$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez $x$ par $π$ .

$\sin (2 (π)) + 3$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\sin (0) + 3$

Étape 3.2.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$0 + 3$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $0$ et $3$ .

$3$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(- π, 3), (π, 3)$

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(- \frac{3 π}{4}, 4), (\frac{π}{4}, 4)$

Minimum absolu : $(- \frac{π}{4}, 2), (\frac{3 π}{4}, 2)$

Étape 5