Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x + \frac{16}{x}$ , $[4, 20]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \frac{16}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{16}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{16}{x}]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{16}{x}]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{16}{x}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{16}{x}$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$1 + 16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.1.1.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$1 + 16 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$1 + 16 (- x^{- 2})$

Étape 1.1.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$1 - 16 x^{- 2}$

Étape 1.1.1.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 16 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.1.4.1

Associez des termes.

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Étape 1.1.1.4.1.1

Associez $- 16$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$1 + \frac{- 16}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.4.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 - \frac{16}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - \frac{16}{x^{2}} + 1$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{16}{x^{2}} + 1$ .

$- \frac{16}{x^{2}} + 1$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{16}{x^{2}} + 1 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{16}{x^{2}} + 1 = 0$

Étape 1.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{16}{x^{2}} = - 1$

Étape 1.2.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.2.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{2}, 1$

Étape 1.2.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{2}$

Étape 1.2.4

Multiplier chaque terme dans $- \frac{16}{x^{2}} = - 1$ par $x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 1.2.4.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{16}{x^{2}} = - 1$ par $x^{2}$ .

$- \frac{16}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 1.2.4.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{16}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 16}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 16}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 16 = - x^{2}$

Étape 1.2.5

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.5.1

Réécrivez l’équation comme $- x^{2} = - 16$ .

$- x^{2} = - 16$

Étape 1.2.5.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 16$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 16$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

Étape 1.2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

Étape 1.2.5.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 16}{- 1}$

Étape 1.2.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.3.1

Divisez $- 16$ par $- 1$ .

$x^{2} = 16$

Étape 1.2.5.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{16}$

Étape 1.2.5.4

Simplifiez $\pm \sqrt{16}$ .

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Étape 1.2.5.4.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Étape 1.2.5.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 4$

Étape 1.2.5.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.5.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 4$

Étape 1.2.5.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 4$

Étape 1.2.5.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 4, - 4$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{16}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 1.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.3.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 1.3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 1.3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 1.3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 1.3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 1.4

Évaluez $x + \frac{16}{x}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 4$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $4$ .

$(4) + \frac{16}{4}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Divisez $16$ par $4$ .

$4 + 4$

Étape 1.4.1.2.2

Additionnez $4$ et $4$ .

$8$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = - 4$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $- 4$ .

$(- 4) + \frac{16}{- 4}$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Divisez $16$ par $- 4$ .

$- 4 - 4$

Étape 1.4.2.2.2

Soustrayez $4$ de $- 4$ .

$- 8$

Étape 1.4.3

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.3.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$(0) + \frac{16}{0}$

Étape 1.4.3.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 1.4.4

Indiquez tous les points.

$(4, 8), (- 4, - 8)$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(4, 8)$

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 3.1

Évaluez sur $x = 4$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez $x$ par $4$ .

$(4) + \frac{16}{4}$

Étape 3.1.2

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1

Divisez $16$ par $4$ .

$4 + 4$

Étape 3.1.2.2

Additionnez $4$ et $4$ .

$8$

Étape 3.2

Évaluez sur $x = 20$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez $x$ par $20$ .

$(20) + \frac{16}{20}$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun à $16$ et $20$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$20 + \frac{4 (4)}{20}$

Étape 3.2.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.2.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$20 + \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 5}$

Étape 3.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$20 + \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 5}$

Étape 3.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$20 + \frac{4}{5}$

Étape 3.2.2.2

Pour écrire $20$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$20 \cdot \frac{5}{5} + \frac{4}{5}$

Étape 3.2.2.3

Associez $20$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{20 \cdot 5}{5} + \frac{4}{5}$

Étape 3.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{20 \cdot 5 + 4}{5}$

Étape 3.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.2.5.1

Multipliez $20$ par $5$ .

$\frac{100 + 4}{5}$

Étape 3.2.2.5.2

Additionnez $100$ et $4$ .

$\frac{104}{5}$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(4, 8), (20, \frac{104}{5})$

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(20, \frac{104}{5})$

Minimum absolu : $(4, 8)$

Étape 5