Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 x + 2 - \sin (x)$ , $0 < x < 3 π$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x + 2 - \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 1.1.1.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 + 0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 1.1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Étape 1.1.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$5 + 0 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.1.4.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$5 + 0 - \cos (x)$

Étape 1.1.1.5

Additionnez $5$ et $0$ .

$f' (x) = 5 - \cos (x)$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $5 - \cos (x)$ .

$5 - \cos (x)$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $5 - \cos (x) = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$5 - \cos (x) = 0$

Étape 1.2.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$- \cos (x) = - 5$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $- \cos (x) = - 5$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- \cos (x) = - 5$ par $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Étape 1.2.3.2.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 5}{- 1}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Divisez $- 5$ par $- 1$ .

$\cos (x) = 5$

Étape 1.2.4

La plage du cosinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $5$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé

Étape 2

Comme il n’y a pas de valeur de $x$ qui rende la dérivée première égale à $0$ , il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Aucun maximum absolu

Aucun minimum absolu

Étape 4