Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - x^{4} + 50 x^{2} - 625$ , $[- 6, 6]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{4} + 50 x^{2} - 625$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [50 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 625]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [50 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 625]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [50 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 625]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [50 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 625]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [50 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 625]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [50 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $50$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $50 x^{2}$ par rapport à $x$ est $50 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} + 50 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 625]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 4 x^{3} + 50 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 625]$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $50$ .

$- 4 x^{3} + 100 x + \frac{d}{d x} [- 625]$

Étape 1.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.1.4.1

Comme $- 625$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 625$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 4 x^{3} + 100 x + 0$

Étape 1.1.1.4.2

Additionnez $- 4 x^{3} + 100 x$ et $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 100 x$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 4 x^{3} + 100 x$ .

$- 4 x^{3} + 100 x$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 4 x^{3} + 100 x = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 4 x^{3} + 100 x = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $- 4 x$ à partir de $- 4 x^{3} + 100 x$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $- 4 x$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$- 4 x \cdot x^{2} + 100 x = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez $- 4 x$ à partir de $100 x$ .

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 25 = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $- 4 x$ à partir de $- 4 x (x^{2}) - 4 x (- 25)$ .

$- 4 x (x^{2} - 25) = 0$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$- 4 x (x^{2} - 5^{2}) = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez.

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Étape 1.2.2.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$- 4 x ((x + 5) (x - 5)) = 0$

Étape 1.2.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 4 x (x + 5) (x - 5) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 1.2.5.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 1.2.6

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 1.2.6.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 1.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 4 x (x + 5) (x - 5) = 0$ vraie.

$x = 0, - 5, 5$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $- x^{4} + 50 x^{2} - 625$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$- {(0)}^{4} + 50 {(0)}^{2} - 625$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 0 + 50 {(0)}^{2} - 625$

Étape 1.4.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 + 50 {(0)}^{2} - 625$

Étape 1.4.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 50 \cdot 0 - 625$

Étape 1.4.1.2.1.4

Multipliez $50$ par $0$ .

$0 + 0 - 625$

Étape 1.4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.4.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 - 625$

Étape 1.4.1.2.2.2

Soustrayez $625$ de $0$ .

$- 625$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = - 5$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $- 5$ .

$- {(- 5)}^{4} + 50 {(- 5)}^{2} - 625$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $4$ .

$- 1 \cdot 625 + 50 {(- 5)}^{2} - 625$

Étape 1.4.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $625$ .

$- 625 + 50 {(- 5)}^{2} - 625$

Étape 1.4.2.2.1.3

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$- 625 + 50 \cdot 25 - 625$

Étape 1.4.2.2.1.4

Multipliez $50$ par $25$ .

$- 625 + 1250 - 625$

Étape 1.4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.4.2.2.2.1

Additionnez $- 625$ et $1250$ .

$625 - 625$

Étape 1.4.2.2.2.2

Soustrayez $625$ de $625$ .

$0$

Étape 1.4.3

Évaluez sur $x = 5$ .

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Étape 1.4.3.1

Remplacez $x$ par $5$ .

$- {(5)}^{4} + 50 {(5)}^{2} - 625$

Étape 1.4.3.2

Simplifiez

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Étape 1.4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.3.2.1.1

Élevez $5$ à la puissance $4$ .

$- 1 \cdot 625 + 50 {(5)}^{2} - 625$

Étape 1.4.3.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $625$ .

$- 625 + 50 {(5)}^{2} - 625$

Étape 1.4.3.2.1.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$- 625 + 50 \cdot 25 - 625$

Étape 1.4.3.2.1.4

Multipliez $50$ par $25$ .

$- 625 + 1250 - 625$

Étape 1.4.3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.4.3.2.2.1

Additionnez $- 625$ et $1250$ .

$625 - 625$

Étape 1.4.3.2.2.2

Soustrayez $625$ de $625$ .

$0$

Étape 1.4.4

Indiquez tous les points.

$(0, - 625), (- 5, 0), (5, 0)$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = - 6$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $- 6$ .

$- {(- 6)}^{4} + 50 {(- 6)}^{2} - 625$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $4$ .

$- 1 \cdot 1296 + 50 {(- 6)}^{2} - 625$

Étape 2.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1296$ .

$- 1296 + 50 {(- 6)}^{2} - 625$

Étape 2.1.2.1.3

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$- 1296 + 50 \cdot 36 - 625$

Étape 2.1.2.1.4

Multipliez $50$ par $36$ .

$- 1296 + 1800 - 625$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.1.2.2.1

Additionnez $- 1296$ et $1800$ .

$504 - 625$

Étape 2.1.2.2.2

Soustrayez $625$ de $504$ .

$- 121$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 6$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $6$ .

$- {(6)}^{4} + 50 {(6)}^{2} - 625$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $4$ .

$- 1 \cdot 1296 + 50 {(6)}^{2} - 625$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1296$ .

$- 1296 + 50 {(6)}^{2} - 625$

Étape 2.2.2.1.3

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$- 1296 + 50 \cdot 36 - 625$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $50$ par $36$ .

$- 1296 + 1800 - 625$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.2.2.2.1

Additionnez $- 1296$ et $1800$ .

$504 - 625$

Étape 2.2.2.2.2

Soustrayez $625$ de $504$ .

$- 121$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(- 6, - 121), (6, - 121)$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(- 5, 0), (5, 0)$

Minimum absolu : $(0, - 625)$

Étape 4