Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 \sqrt{x} + 5$ , $[4, 7]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 \sqrt{x} + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.2.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.2.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.2.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.2.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.2.10

Associez $4$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.2.11

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.2.12

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.2.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.2.13.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.2.13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.2.13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Étape 1.1.1.3.2

Additionnez $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 = 0$

Étape 1.2.3

Comme $2 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 1.3.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{2}{\sqrt{x^{1}}}$

Étape 1.3.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{2}{\sqrt{x}}$

Étape 1.3.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{2}{\sqrt{x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{x} = 0$

Étape 1.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 1.3.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Étape 1.3.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 1.3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 1.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.3.2.2.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.3.3.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.3.3.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 1.3.3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.3.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 1.3.3.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 0^{2}$

Étape 1.3.3.2.2.1.2

Simplifiez

$x = 0^{2}$

Étape 1.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x = 0$

Étape 1.3.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x < 0$

Étape 1.3.5

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Étape 1.4

Évaluez $4 \sqrt{x} + 5$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$4 \sqrt{0} + 5$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$4 \sqrt{0} + 5$

Étape 1.4.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$4 \sqrt{0^{2}} + 5$

Étape 1.4.1.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$4 \cdot 0 + 5$

Étape 1.4.1.2.2.3

Multipliez $4$ par $0$ .

$0 + 5$

Étape 1.4.1.2.3

Additionnez $0$ et $5$ .

$5$

Étape 1.4.2

Indiquez tous les points.

$(0, 5)$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 3.1

Évaluez sur $x = 4$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez $x$ par $4$ .

$4 \sqrt{4} + 5$

Étape 3.1.2

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$4 \sqrt{4} + 5$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$4 \sqrt{2^{2}} + 5$

Étape 3.1.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$4 \cdot 2 + 5$

Étape 3.1.2.2.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$8 + 5$

Étape 3.1.2.3

Additionnez $8$ et $5$ .

$13$

Étape 3.2

Évaluez sur $x = 7$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez $x$ par $7$ .

$4 \sqrt{7} + 5$

Étape 3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$4 \sqrt{7} + 5$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(4, 13), (7, 4 \sqrt{7} + 5)$

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(7, 4 \sqrt{7} + 5)$

Minimum absolu : $(4, 13)$

Étape 5