Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ , $[0, 2]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 1}$ comme ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.1.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.1.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{1}}$

Étape 1.1.1.4

Simplifiez

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.1.1.5.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.1.5.2

Multipliez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.1.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 1.1.1.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.1.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.1.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.1.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.1.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.1.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.1.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.1.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.1.11

Associez les fractions.

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Étape 1.1.1.11.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.1.11.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.1.11.3

Placez ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.1.11.4

Associez $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.1.12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.1.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.1.14

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.1.15

Associez les fractions.

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Étape 1.1.1.15.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.1.15.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.1.15.3

Associez $- 2$ et $\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.1.15.4

Associez $\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.1.16

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.1.17

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.1.18

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.1.19

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.1.20

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.1.21

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.21.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.1.21.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.1.21.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.1.22

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.1.23

Pour écrire ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.1.24

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.1.25

Multipliez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.1.25.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.1.25.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.1.25.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.1.25.4

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{1} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.1.26

Simplifiez ${(x^{2} + 1)}^{1}$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 1 - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.1.27

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{0 + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.1.28

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.1.29

Réécrivez $\frac{\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$ comme un produit.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.1.30

Multipliez $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)}$

Étape 1.1.1.31

Multipliez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par $x^{2} + 1$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.1.31.1

Multipliez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par $x^{2} + 1$ .

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Étape 1.1.1.31.1.1

Élevez $x^{2} + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{1}}$

Étape 1.1.1.31.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Étape 1.1.1.31.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 1.1.1.31.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Étape 1.1.1.31.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 = 0$

Étape 1.2.3

Comme $1 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{{(0)}^{2} + 1}}$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{0 + 1}}$

Étape 2.1.2.1.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{0}{\sqrt{1}}$

Étape 2.1.2.1.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{0}{1}$

Étape 2.1.2.2

Divisez $0$ par $1$ .

$0$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$\frac{2}{\sqrt{{(2)}^{2} + 1}}$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{2}{\sqrt{4 + 1}}$

Étape 2.2.2.1.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{5}}$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Étape 2.2.2.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.2.3.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 2.2.2.3.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Étape 2.2.2.3.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Étape 2.2.2.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 2.2.2.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 2.2.2.3.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 2.2.2.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.2.2.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.2.2.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.2.2.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.2.2.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{1}}$

Étape 2.2.2.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (2, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(2, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Minimum absolu : $(0, 0)$

Étape 4