Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} + 2 x - 1$ , $[0, 1]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 2 + 0$

Étape 1.1.1.3.2

Additionnez $2 x + 2$ et $0$ .

$f' (x) = 2 x + 2$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x + 2$ .

$2 x + 2$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x + 2 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 x + 2 = 0$

Étape 1.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 2$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $2 x = - 2$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 2$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 2}{2}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 2}{2}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{2}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Divisez $- 2$ par $2$ .

$x = - 1$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $x^{2} + 2 x - 1$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = - 1$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

${(- 1)}^{2} + 2 (- 1) - 1$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 + 2 (- 1) - 1$

Étape 1.4.1.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$1 - 2 - 1$

Étape 1.4.1.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 1.4.1.2.2.1

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- 1 - 1$

Étape 1.4.1.2.2.2

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$- 2$

Étape 1.4.2

Indiquez tous les points.

$(- 1, - 2)$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 3.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{2} + 2 (0) - 1$

Étape 3.1.2

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 2 (0) - 1$

Étape 3.1.2.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$0 + 0 - 1$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 - 1$

Étape 3.1.2.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- 1$

Étape 3.2

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez $x$ par $1$ .

${(1)}^{2} + 2 (1) - 1$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 2 (1) - 1$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$1 + 2 - 1$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.2.2.2.1

Additionnez $1$ et $2$ .

$3 - 1$

Étape 3.2.2.2.2

Soustrayez $1$ de $3$ .

$2$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(0, - 1), (1, 2)$

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(1, 2)$

Minimum absolu : $(0, - 1)$

Étape 5