Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - x + 1}$ , $[0, 3]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{2} - x + 1$ .

$\frac{(x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.2

Multipliez $x^{2} - x + 1$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.8

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1 + 0)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.9

Additionnez $2 x - 1$ et $0$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.3.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x^{2} - x + 1 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.1.3.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.4

Multipliez $- x \cdot - 1$ .

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Étape 1.1.1.3.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} + 1 x}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} + x}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.2

Associez les termes opposés dans $x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} + x$ .

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Étape 1.1.1.3.2.2.1

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2} + 0}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.2.2

Additionnez $x^{2} + 1 - 2 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.3

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.3.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 1^{2}}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3.2

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - x^{2}}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$f' (x) = \frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$(1 + x) (1 - x) = 0$

Étape 1.2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 1.2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Étape 1.2.3.2

Définissez $1 + x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.3.2.1

Définissez $1 + x$ égal à $0$ .

$1 + x = 0$

Étape 1.2.3.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 1.2.3.3

Définissez $1 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.3.3.1

Définissez $1 - x$ égal à $0$ .

$1 - x = 0$

Étape 1.2.3.3.2

Résolvez $1 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.3.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 1$

Étape 1.2.3.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 1.2.3.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 1.2.3.3.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 1.2.3.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1$

Étape 1.2.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(1 + x) (1 - x) = 0$ vraie.

$x = - 1, 1$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $\frac{x}{x^{2} - x + 1}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = - 1$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

$\frac{- 1}{{(- 1)}^{2} - (- 1) + 1}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 1}{1 - (- 1) + 1}$

Étape 1.4.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 1}{1 + 1 + 1}$

Étape 1.4.1.2.1.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 1}{2 + 1}$

Étape 1.4.1.2.1.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{- 1}{3}$

Étape 1.4.1.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{3}$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$\frac{1}{{(1)}^{2} - (1) + 1}$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{1 - (1) + 1}$

Étape 1.4.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{1 - 1 + 1}$

Étape 1.4.2.2.1.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{1}{0 + 1}$

Étape 1.4.2.2.1.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1}{1}$

Étape 1.4.2.2.2

Divisez $1$ par $1$ .

$1$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(- 1, - \frac{1}{3}), (1, 1)$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(1, 1)$

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 3.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\frac{0}{{(0)}^{2} - (0) + 1}$

Étape 3.1.2

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0 - (0) + 1}$

Étape 3.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 + 1}$

Étape 3.1.2.1.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{0 + 1}$

Étape 3.1.2.1.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{0}{1}$

Étape 3.1.2.2

Divisez $0$ par $1$ .

$0$

Étape 3.2

Évaluez sur $x = 3$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez $x$ par $3$ .

$\frac{3}{{(3)}^{2} - (3) + 1}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.2.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{3}{9 - (3) + 1}$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{3}{9 - 3 + 1}$

Étape 3.2.2.3

Soustrayez $3$ de $9$ .

$\frac{3}{6 + 1}$

Étape 3.2.2.4

Additionnez $6$ et $1$ .

$\frac{3}{7}$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (3, \frac{3}{7})$

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(1, 1)$

Minimum absolu : $(0, 0)$

Étape 5